Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 7.5 Ley de Hooke para esfuerzo plano 575
7.5 LEY DE HOOKE PARA ESFUERZO PLANO
Figura 7.24 Elemento de material en
esfuerzo plano (s z = 0).
z
z
O
y
y
s y
t xy
s x
ae x
ce a
z c
be y
Figura 7.25 Elemento de material
sometido a deformaciones unitarias
normales x , y y z .
p
2 – g xy
z
O
O
y
p
2 – g xy
Figura 7.26 Deformación unitaria por
cortante g xy .
x
x
b
x
Los esfuerzos que actúan sobre planos inclinados cuando el material está
sometido a esfuerzo plano (figura 7.24) se analizaron en las secciones 7.2,
7.3 y 7.4. Las ecuaciones de transformación de esfuerzo deducidas en esos
análisis se obtuvieron solamente del equilibrio y, por tanto, no se necesitaron
las propiedades de los materiales. Ahora, en esta sección, investigaremos
las deformaciones unitarias en el material, lo que significa que se deben
considerar sus propiedades. Sin embargo, limitaremos nuestro análisis
a materiales que cumplan dos condiciones importantes: primero, el material
es uniforme en todo el cuerpo y tiene las mismas propiedades en todas las
direcciones (material homogéneo e isotrópico) y segundo, el material sigue
la ley de Hooke (material linealmente elástico). En estas condiciones es
fácil obtener las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones unitarias
en el cuerpo.
Iniciemos considerando las deformaciones unitarias normales x , y
y z en esfuerzo plano. Los efectos de estas deformaciones se representan en
la figura 7.25, que muestra los cambios en las dimensiones de un elemento
pequeño que tiene bordes con longitudes a, b y c. En la figura las tres deformaciones
unitarias se muestran positivas (alargamiento). Las deformaciones
unitarias se pueden expresar en términos de los esfuerzos (figura 7.24)
superponiendo los efectos de los esfuerzos individuales.
Por ejemplo, la deformación unitaria x en la dirección x debida al esfuerzo
s x es igual a s x /E, donde E es el módulo de elasticidad. Además, la
deformación unitaria x debida al esfuerzo s y es igual a –ns y /E, donde n es
la relación de Poisson (consulte la sección 1.5). Por supuesto, el esfuerzo
cortante t xy no produce deformaciones unitarias en las direcciones x, y o z.
Por tanto, la deformación unitaria resultante en la dirección x es
e x
1 (sx ns y ) (7-34a) (7.34a)
E
De una manera similar obtenemos las deformaciones unitarias en las direcciones
y y z:
e y
1 n (sy ns x ) e z (sx s y ) (7-34b,c) (7.34b,c)
E
E
Estas ecuaciones se pueden emplear para encontrar las deformaciones unitarias
normales (en esfuerzo plano) cuando se conocen los esfuerzos.
El esfuerzo cortante t xy (figura 7.24) causa una distorsión del elemento
tal que la cara z se convierte en un rombo (figura 7.26). La deformación
unitaria por cortante g xy es el decremento en el ángulo entre las caras x y y
del elemento y está relacionada con el esfuerzo cortante por la ley de Hooke
en cortante, de la siguiente manera:
g xy
txy
G
(7-35) (7.35)
donde G es el módulo de elasticidad en cortante. Observe que los esfuerzos
normales s x y s y no tienen efecto en la deformación unitaria normal g xy . En
consecuencia, las ecuaciones (7.34) y (7.35) dan las deformaciones unitarias
(en esfuerzo plano) cuando todos los esfuerzos (s x , s y y t xy ) actúan de
manera simultánea.