Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 7.2 Esfuerzo plano 547
Ejemplo 7.2
O
y
12 MPa
46 MPa
x
19 MPa
Se tiene una condición de esfuerzo plano en un punto sobre la superficie de una
estructura cargada, donde los esfuerzos tienen las magnitudes y direcciones que se
muestran sobre el elemento de esfuerzo de la figura 7.8a.
Determine los esfuerzos que actúan sobre un elemento que está orientado a
un ángulo de 15° en el sentido de las manecillas del reloj con respecto al elemento
original.
Solución
Los esfuerzos que actúan sobre el elemento original (figura 7.8a) tienen los
siguientes valores:
s x 46 MPa s y 12 MPa t xy 19 MPa
y
(a)
1.4 MPa
Un elemento orientado a un ángulo de 15° en el sentido de las manecillas del
reloj se muestra en la figura 7.8b, donde el eje x 1 está a un ángulo u = –15° con
respecto al eje x. (Como alternativa, el eje x 1 se podría ubicar en un ángulo positivo
u = 75°).
Ecuaciones de transformación de esfuerzos. Podemos calcular con facilidad
los esfuerzos sobre la cara x 1 del elemento orientado a u = –15° al emplear las ecuaciones
de transformación (ecuaciones 7.4a y 7.4b). Los cálculos son:
y 1
x 1
O
32.6 MPa
x
u = –15°
31.0 MPa
s x
2
s y
17 MPa
s x 2 s y
2
29 MPa
sen 2u sen ( 30°) 0.5 cos 2u cos ( 30°) 0.8660
Al sustituir en las ecuaciones de transformación obtenemos
(b)
Figura 7.8 Ejemplo 7.2. (a) Elemento en
esfuerzo plano y (b) elemento a un ángulo
u = –15°.
s x s y s x 2 s y
s x1 cos 2u
2 2
txy sen 2u
17 MPa ( 29 MPa)(0.8660) ( 19 MPa)( 0.5)
32.6 MPa
s x 2 s y
t x1 y 1 sen 2u
2
txy cos 2u
( 29 MPa)( 0.5) ( 19 MPa)(0.8660)
31.0 MPa
El esfuerzo normal que actúa sobre la cara y 1 (ecuación 7.5) es
s x s y s x 2 s y
s y1 cos 2u
2 2
txy sen 2u
17 MPa ( 29 MPa)(0.8660) ( 19 MPa)( 0.5)
1.4 MPa
Este esfuerzo puede verificarse al sustituir u = 75° en la ecuación (7.4a). Como
verificación adicional de los resultados, observamos que s x1 s y1 s x s y .
Los esfuerzos que actúan sobre el elemento inclinado se muestran en la figura
7.8b, donde las flechas indican las direcciones verdaderas de los esfuerzos. De
nuevo observe que los dos elementos de esfuerzo que se muestran en la figura 7.8
representan el mismo estado de esfuerzo.