Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

240 CapÍtulo 3 Torsión
T A
T A
A
A
t
x
t
x
Figura 3.16 Barra en torsión no
uniforme (caso 3).
L
(a)
(b)
dx
T(x)
B
T B
Si la expresión para el momento polar de inercia I P (x) no es demasiado
compleja, esta integral se puede evaluar de manera analítica, como en el
ejemplo 3.5. En otros casos, se debe evaluar de manera numérica.
Caso 3. Barra con secciones transversales continuamente variables y
par de torsión continuamente variable (figura 3.16). La barra que se muestra
en la parte (a) de la figura está sometida a un par de torsión distribuido
con intensidad t por unidad de distancia a lo largo del eje de la barra. Como
resultado, el par de torsión interno T(x) varía de manera continua a lo largo
del eje (figura 3.16b). El par de torsión interno se puede evaluar con ayuda
del diagrama de cuerpo libre y una ecuación de equilibrio. Como en el caso
2, el momento polar de inercia I P (x) se puede evaluar con las dimensiones
de la sección transversal de la barra.
Conociendo el par de torsión y el momento polar de inercia como funciones
de x, se puede emplear la fórmula de la torsión para determinar cómo
varía el esfuerzo cortante a lo largo del eje de la barra. Luego se puede
identificar la sección transversal de esfuerzo cortante máximo y determinar
el esfuerzo cortante máximo.
El ángulo de torsión de la barra de la figura 3.16a se puede encontrar de
la misma manera que se describió para el caso 2. La única diferencia es que
el par de torsión, al igual que el momento polar de inercia, también varía a
lo largo del eje. En consecuencia, la ecuación para el ángulo de torsión se
convierte en
f
0
L
df
0
L
T(
x)
dx
GI
( x)
P
(3.22)
Esta integral se puede evaluar de forma analítica en algunos casos, pero es
usual que se deba evaluar de manera numérica.
Limitaciones
Los análisis descritos en esta sección son válidos para barras hechas de materiales
linealmente elásticos con secciones transversales circulares (sólidas
o huecas). Además, los esfuerzos determinados con la fórmula de la torsión
son válidos en regiones de la barra alejadas de concentraciones de esfuerzos,
que son esfuerzos altamente localizados que ocurren cuando el diámetro
cambia abruptamente y cuando se aplican pares de torsión concentrados
(consulte la sección 3.11). Sin embargo, las concentraciones de esfuerzos
tienen relativamente poco efecto sobre el ángulo de torsión y, por tanto, en
general las ecuaciones para f son válidas.
Por último, debemos tener en cuenta que la fórmula de la torsión y las
fórmulas para los ángulos de torsión se dedujeron para barras prismáticas.
Podemos aplicarlas con seguridad a barras con secciones transversales variables
sólo cuando los cambios de diámetro sean pequeños y graduales.
Como regla básica, las fórmulas dadas aquí son satisfactorias siempre que
el ángulo de ahusamiento (el ángulo entre los lados de la barra) sea menor
que 10°.