Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 11.6 Fórmula de la secante para columnas 851
Como P cr = p 2 EI/L 2 para una columna con extremos articulados y dado
que I = Ar 2 , donde r es el radio de giro en el plano de flexión, la ecuación
anterior se convierte en
M máx
Pe sec 2
L
r
P
EA
(11.58)
Al sustituir en la ecuación (11.57), obtenemos la siguiente fórmula para el
esfuerzo de compresión máximo:
o
s máx
s máx
P
A
Pec sec
I
2
L
r
P
A 1 ec
2
r
sec L
2r
P
EA
P
EA
(11.59)
Esta ecuación se conoce comúnmente como la fórmula de la secante para
una columna cargada excéntricamente con extremos articulados.
La fórmula de la secante proporciona el esfuerzo de compresión máximo
en la columna como una función del esfuerzo de compresión promedio
P/A, del módulo de elasticidad E y de dos razones adimensionales: la
relación de esbeltez L/r (ecuación 11.17) y la relación de excentricidad:
Relación de excentricidad
ec
2
r
(11.60)
Como su nombre lo implica, la relación de excentricidad es una medida de
la excentricidad de la carga comparada con las dimensiones de la sección
transversal. Su valor numérico depende de la posición de la carga, pero sus
valores comunes se encuentran en el intervalo de 0 a 3 y sus valores más
comunes son menores que 1.
Al analizar una columna podemos utilizar la fórmula de la secante para
calcular el esfuerzo de compresión máximo cuando se conocen la carga
axial P y su excentricidad e. Luego, el esfuerzo máximo se puede comparar
con el esfuerzo permisible para determinar si la columna es adecuada para
soportar la carga.
También podemos emplear la fórmula de la secante de manera inversa,
es decir, si conocemos el esfuerzo permisible, podemos calcular el valor
correspondiente de la carga P. Sin embargo, debido a que la fórmula de la
secante es trascendente, no es práctico deducir una fórmula para la carga P.
En cambio, podemos resolver la ecuación (11.59) de forma numérica en
cada caso individual.
En la figura 11.27 se muestra una gráfica de la fórmula de la secante.
La abscisa es la relación de esbeltez L/r y la ordenada es el esfuerzo de
compresión promedio P/A. La gráfica está trazada para una columna de acero
con módulo de elasticidad E = 30 × 10 3 ksi y esfuerzo máximo s máx = 36 ksi.
Las curvas están trazadas para varios valores de la relación de excentricidad ec/r 2 .
Estas curvas son válidas sólo cuando el esfuerzo máximo es menor que el límite
de proporcionalidad del material, debido a que la fórmula de la secante
se dedujo empleando la ley de Hooke.
Un caso especial se origina cuando la excentricidad de la carga desaparece
(e = 0), ya que entonces tenemos una columna ideal con una carga