Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

838 CapÍtulo 11 Columnas
P
(a)
L
P
(b)
L e = 2L
Figura 11.16 Curvas de deflexión que
muestran la longitud efectiva L e para una
columna empotrada en la base y libre en la
parte superior.
P
la forma flexionada de una columna empotrada en la base y libre en su parte
superior (figura 11.16a). Esta columna se pandea en una curva que es un
cuarto de una onda senoidal completa. Si prolongamos la curva de deflexión
(figura 11.16b), ésta se vuelve la mitad de una onda senoidal completa, que
es la curva de deflexión para una columna con extremos articulados.
La longitud efectiva L e para cualquier columna es la longitud de la
columna equivalente con extremos articulados, es decir, es la longitud de
una columna con extremos articulados con una curva de deflexión que concuerda
exactamente con toda o parte de la curva de deflexión de la viga
original.
Otra manera de expresar esta idea es decir que la longitud efectiva de
una columna es la distancia entre puntos de inflexión (es decir, puntos con
momento igual a cero) en su curva de deflexión, suponiendo que la curva
se extiende (si fuera necesario) hasta alcanzar los puntos de inflexión. Por
tanto, para una columna con extremos empotrados (figura 11.16), la longitud
efectiva es
L e 2L (11.30)
Como la longitud efectiva es la longitud de una columna equivalente
con extremos articulados, podemos escribir una fórmula general para las
cargas críticas:
P cr
2
p EI
2
L
e
(11.31)
Si conocemos la longitud efectiva de una columna (sin importar cuán complejas
puedan ser las condiciones de los extremos), podemos sustituirla en
la ecuación anterior y determinar la carga crítica. Por ejemplo, en el caso
de una columna con extremos empotrados, podemos sustituir L e = 2L y
obtener la ecuación (11.28).
La longitud efectiva a menudo se expresa en términos de un factor de
longitud efectiva K:
L e KL (11.32)
donde L es la longitud real de la columna. Por tanto, la carga crítica es
2
p EI
P cr
( KL) 2
(11.33)
El factor K es igual a 2 para una columna empotrada en la base y libre en
la parte superior y es igual a 1 para una columna con extremos articulados.
El factor de longitud efectiva se suele incluir en las fórmulas de diseño para
columnas, como se ilustra en la sección 11.9.
Columna con los dos extremos empotrados para evitar rotación
A continuación consideremos una columna con los dos extremos empotrados
para evitar rotación (figura 11.17a). Observe que en esta figura usamos
el símbolo estándar para el empotramiento en la base de la columna. Sin
embargo, como la columna tiene libertad de acortarse ante una carga axial,
debemos introducir un símbolo nuevo en la parte superior de la columna.
Este símbolo nuevo muestra un bloque rígido que está restringido de tal