Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 2.3 Cambios de longitud en condiciones no uniformes 105
Ejemplo 2.4
Una barra cónica AB con sección transversal circular sólida y longitud L (figura
2.13a) está empotrada en el extremo B y sometida a una carga de tensión P en su
extremo libre A. Los diámetros de la barra en los extremos A y B son d A y d B , respectivamente.
Determine el alargamiento de la barra debido a la carga P, suponga que el ángulo
de conicidad es pequeño.
P
dx
d A
B
x
d B O
d(x)
A
A
L A
L
L
L B
d A
)
B
d B
(a)
Figura 2.13 Ejemplo 2.4. Cambio de
longitud de una barra cónica con sección
transversal sólida.
Solución
La barra analizada en este ejemplo tiene una fuerza axial constante (igual a la
carga P) en toda su longitud. Sin embargo, el área de su sección transversal varía
continuamente de un extremo al otro. Por tanto, debemos integrar (consulte la ecuación
2.7) para determinar el cambio de su longitud.
Área de la sección transversal: el primer paso en la solución es obtener una
expresión para el área de la sección transversal A(x) en cualquier sección transversal
de la barra. Para este fin, debemos establecer un origen para la coordenada x. Una
posibilidad es colocar el origen de las coordenadas en el extremo libre A de la barra.
Sin embargo, las integraciones que se realizarán se simplificarán ligeramente si ubicamos
el origen de las coordenadas ampliando los lados de la barra cónica hasta que
se unan en el punto O, como se muestra en la figura 2.13b.
Las distancias L A y L B desde el origen O hasta los extremos A y B, respectivamente,
están dadas por la razón
(b
L
L
A
B
d
d
A
B
(a)
obtenida de triángulos semejantes en la figura 2.13b. También por triángulos semejantes
obtenemos la razón entre diámetro d(x) y la distancia x desde el origen hasta
el diámetro d A en el extremo pequeño de la barra:
d(
x)
d
A
x
LA
o
d(x)
dAx
L
A
(b)
Por tanto, el área de la sección transversal a la distancia x desde el origen es
A(x)
p[d(x)] 2
4
2
pd
A x 2
2
(c)
4L
A
continúa