Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

714 CapÍtulo 9 Deflexiones de vigas
y
B
Figura 9.23 Deducción del segundo
teorema de área-momento.
A
O
M
— EI
O
x
dt t B/A
m 2
du
m 1
B 1
x
x 1
x
C
x
dx
ción tangencial de B con respecto a A. De manera más precisa, la distancia
t B/A es la desviación vertical del punto B sobre la curva de deflexión con
respecto a la tangente en el punto A. La desviación tangencial es positiva
cuando el punto B está arriba de la tangente en A.
Para determinar la desviación tangencial, de nuevo seleccionamos dos
puntos m 1 y m 2 separados una distancia pequeña sobre la curva de deflexión
(figura 9.23). El ángulo entre las tangentes en estos dos puntos es du y el
segmento sobre la línea BB 1 entre estas tangentes es dt. Dado que los ángulos
entre las tangentes y el eje x en realidad son muy pequeños, observamos
que la distancia vertical dt es igual a x 1 du, donde x 1 es la distancia horizontal
desde el punto B hasta el elemento pequeño m 1 m 2 . Como du = M dx/EI
(ecuación 9.61), obtenemos
Mdx
dt x 1 d x 1
EI
(e)
La distancia dt representa la contribución de la flexión del elemento m 1 m 2 a
la desviación tangencial t B/A . La expresión x 1 M dx/EI se puede interpretar de
manera geométrica como el momento estático del área de la franja sombreada
de ancho dx dentro del diagrama M/EI. Este momento estático se evalúa
con respecto a una línea vertical que pasa por el punto B.
Al integrar la ecuación (e) entre los puntos A y B obtenemos
A
B
dt
A
B
Mdx
x 1
EI
(f)