Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

176 CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente
Como sucede en el caso normal de una estructura estáticamente indeterminada,
iniciamos el análisis con las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad.
De acuerdo con el equilibrio de la placa rígida en la dirección
vertical obtenemos
2F 1 F 2 P (a)
donde F 1 y F 2 son las fuerzas axiales en las barras externas e interna, respectivamente.
Como la placa se mueve hacia abajo como un cuerpo rígido
al aplicar la carga, la ecuación de compatibilidad es
d 1 d 2 (b)
donde d 1 y d 2 son los alargamientos de las barras exterior e interior, respectivamente.
Ya que dependen sólo del equilibrio y de la geometría, las dos
ecuaciones anteriores son válidas en todos los niveles de la carga P; no importa
si las deformaciones unitarias se encuentran en la región linealmente
elástica o en la región plástica.
Cuando la carga P es pequeña, los esfuerzos en las barras son menores
que el esfuerzo de fluencia s Y y el material está sometido a esfuerzos dentro
de la región linealmente elástica. Por lo tanto, las relaciones fuerza-desplazamiento
entre las fuerzas en las barras y sus alargamientos son
d 1
F1L
EA
1
d 2
L 2
F2
EA
(c)
Al sustituir en la ecuación de compatibilidad (ecuación b), obtenemos
F 1 L 1 F 2 L 2 (d)
Al resolver de manera simultánea las ecuaciones (a) y (d), se obtiene
F 1
PL2 PL1
F 2
L 1 2L 2 L 1 2
L 2
(2.74a,b)
F 1
Placa
rígida
L 1
F 2
F 1
L 2
Figura 2.73 Análisis elastoplástico
de una estructura estáticamente
indeterminada.
P
L 1
De esta manera, ahora hemos determinado las fuerzas en las barras en la
región linealmente elástica. Los esfuerzos correspondientes son
s 1
F1
A
A(L 1
PL 2
2L 2 )
s 2
F2 PL 1
A A(L 1 2L 2 )
(2.75a,b)
Estas ecuaciones para las fuerzas y los esfuerzos son válidas siempre que
los esfuerzos en las tres barras permanezcan menores que el esfuerzo de
fluencia s Y .
Conforme la carga P aumenta gradualmente, los esfuerzos en las barras
se incrementan hasta que se alcanza el esfuerzo de fluencia en la barra interior
o bien en las barras exteriores. Supongamos que las barras exteriores
son mayores que la barra interior, como se muestra en la figura 2.73:
L 1 L 2 (e)
Entonces, la barra interior está sometida a un esfuerzo mucho mayor que
las otras (consulte las ecuaciones 2.75a y b) y alcanzará primero el esfuerzo
de fluencia. Cuando eso sucede, la fuerza en la barra interior es F 2 = s Y A.
La magnitud de la carga P cuando se alcanza el esfuerzo de fluencia por