Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

840 CapÍtulo 11 Columnas
Columna empotrada en la base y articulada en la parte superior
La carga crítica y la forma modal de pandeo para una columna que está
empotrada en la base y articulada en la parte superior (figura 11.18a) se puede
determinar al resolver la ecuación diferencial de la curva de deflexión.
Cuando la columna se pandea (figura 11.18b), se genera un momento reactivo
M 0 en la base debido a que no puede haber rotación en ese punto. Entonces,
del equilibrio de toda la columna, sabemos que debe haber reacciones horizontales
R en cada extremo de manera que
M 0 RL (e)
El momento flexionante en la columna pandeada, a una distancia x de la
base, es
M M 0 Pv Rx Pv R(L x) (11.36)
y, por tanto, la ecuación diferencial es
EIv M Pv R(L x) (11.37)
Al sustituir de nuevo k 2 = P/EI y reacomodando términos, obtenemos
v
k 2 v
La solución general de esta ecuación es
v C 1 sen kx C 2 cos kx
R
(L x) (11.38)
EI R
(L x) (11.39)
P
en donde los dos primeros términos en el lado derecho constituyen la solución
homogénea y el último término es la solución particular. Esta solución
se puede verificar mediante la sustitución en la ecuación diferencial (ecuación
11.37).
Dado que la solución contiene tres cantidades desconocidas (C 1 , C 2 y
R), necesitamos tres condiciones de frontera, que son
v(0) 0 v (0) 0 v(L) 0
x
P
B
B
P
R
B
20.19 EI
P cr = —
L 2
L
v
L e = 0.699L
A
y
A
R
A
M 0
Figura 11.18 Columna empotrada en la
base y articulada en la parte superior.
(a)
(b)
P
(c)