Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

154 CapÍtulo 2 Elementos cargados axialmente
Durante el impacto resultante, la energía cinética del collarín se convierte
en otras formas de energía. Parte de la energía cinética se transforma
en la energía de deformación de la barra estirada. Algo de la energía se
disipa produciendo calor y causando deformaciones plásticas localizadas
del collarín y de la brida. Una pequeña parte permanece como la energía
cinética del collarín, que o se mueve hacia abajo aún más (mientras está en
contacto con la brida) o bien rebota hacia arriba.
Para hacer un análisis simplificado de esta situación tan compleja,
idealizaremos el comportamiento haciendo las siguientes suposiciones. (1)
Supondremos que el collarín y la brida están construidos de tal manera que
el collarín “se pega” a la brida y se mueve hacia abajo con ella (es decir, el
collarín no rebota). Este comportamiento es más probable que se dé cuando
la masa del collarín es grande comparada con la masa de la barra. (2) No
tendremos en cuenta todas las pérdidas de energía y supondremos que la
energía cinética de la masa en caída se transforma completamente en energía
de deformación de la barra. Esta suposición predice esfuerzos mayores
en la barra que los que se anticiparían si se tomaran en cuenta pérdidas
de energía. (3) No tomaremos en cuenta cualquier cambio en la energía
potencial de la barra (debido al movimiento vertical de sus elementos) ni
tomaremos en cuenta la existencia de energía de deformación en la barra
debida a su propio peso. Estos dos efectos son extremadamente pequeños.
(4) Supondremos que los esfuerzos en la barra permanecen dentro del intervalo
linealmente elástico. (5) Supondremos que la distribución de esfuerzos
en toda la barra es la misma que cuando está cargada estáticamente por una
fuerza en su extremo inferior, es decir, supondremos que los esfuerzos son
uniformes en todo el volumen de la barra. (En realidad las ondas del esfuerzo
longitudinal viajarán por la barra y debido a esto causaría variaciones en
la distribución del esfuerzo).
Con base en las suposiciones anteriores, podremos calcular el alargamiento
máximo de la barra y los esfuerzos de tensión máximos producidos
por la carga de impacto. (Recuerde que no tomamos en cuenta el peso de la
barra y sólo hemos determinado los esfuerzos debidos al collarín que cae).
Alargamiento máximo de la barra
El alargamiento máximo de la barra d máx (figura 2.53b) se puede obtener a
partir del principio de conservación de la energía igualando la energía potencial
perdida por la masa en caída con la energía de deformación máxima
adquirida por la barra. La energía potencial pérdida es W(h + d máx ), donde
W = Mg es el peso del collarín y h + d máx es la distancia que se desplaza. La
energía de deformación de la barra es EA d 2 máx/2L , donde EA es la rigidez
axial y L es la longitud de la barra (consulte la figura 2.37b). Con estos datos
obtenemos la siguiente ecuación:
W(h d máx )
2
EAd
máx
(2.49)
2L
Esta ecuación es cuadrática en d máx y se puede despejar la raíz positiva; el
resultado es
d máx
WL
EA
WL 2
EA
2h W L 1/2 (2.50)
EA