Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 9.5 Método de superposición 707
Ejemplo 9.8
Una viga compuesta ABC tiene un apoyo de rodillo en A, una articulación interna
en B y está empotrada en C (figura 9.20a). El segmento AB tiene longitud a y la del
segmento BC es 2a/3 desde el apoyo A, y una carga uniforme con intensidad q que
actúa entre los puntos B y C.
Determine la deflexión d B en la articulación y el ángulo de rotación u A en el
apoyo A (figura 9.20d). (Nota: la viga tiene rigidez a la flexión constante EI.)
Solución
Para fines de análisis, consideraremos que la viga compuesta consiste en dos
vigas individuales: (1) una viga simple AB con longitud a y (2) una viga en voladizo
BC con longitud b. Las dos vigas están unidas mediante un pasador en B.
Si separamos la viga AB del resto de la estructura (figura 9.20b), observamos
que existe una fuerza vertical F en el extremo B igual a 2P/3. Esta misma fuerza
actúa hacia abajo en el extremo B del voladizo (figura 9.20c). En consecuencia, la
viga en voladizo BC está sometida a dos cargas; una uniforme y una concentrada. La
deflexión en el extremo de este voladizo (que es igual que la deflexión d B de la articulación)
se encuentra fácilmente con los casos 1 y 4 de la tabla G.1, apéndice G:
A
2a
—
3
P
B
q
C
o, dado que F = 2P/3,
qb 4
d B
8EI
qb 4
d B
8EI
Fb 3
3EI
3
2Pb
9EI
(9.56)
A
a
(b)
P
B
(a)
B
F =
F
2P
—
3
b
(c)
q
C
El ángulo de rotación u A en el apoyo A (figura 9.20d) consiste en dos partes:
(1) un ángulo BAB′ producido por el desplazamiento hacia debajo de la articulación
y (2) un ángulo adicional de rotación generado por la flexión de la viga AB (o viga
AB′) como una viga simple. El ángulo BAB′ es
dB
(u A ) 1
a
4
qb
8aEI
2Pb 3
9aEI
El ángulo de rotación en el extremo de una viga simple con una carga concentrada
se obtiene del caso 5 de la tabla G-2. La fórmula dada allí es
Pab(
L b)
6LEI
en donde L es la longitud de la viga simple, a es la distancia desde el apoyo izquierdo
hasta la carga y b es la distancia desde el apoyo derecho hasta la carga. Por tanto,
en la notación de nuestro ejemplo (figura 9.20a), el ángulo de rotación es
A
y
B
d B
C
x
P 2 a a a
a
3 3 3 4Pa 2
(u A ) 2
6aEI 81EI
Al combinar los dos ángulos, obtenemos el ángulo total de rotación en el apoyo A:
u A
Bʹ
(d)
qb
u A (u A ) 1 (u A ) 2
8aEI
4
2Pb 3
9aEI
4Pa 2
81EI
(9.57)
Figura 9.20 Ejemplo 9.8. Viga
compuesta con una articulación.
Este ejemplo ilustra cómo se puede adaptar el método de superposición para manejar
una situación aparentemente compleja de una manera relativamente simple.