Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 2.7 Energía de deformación 149
Ejemplo 2.13
x
x
Determine la energía de deformación de una barra prismática que cuelga de su extremo
superior (figura 2.49). Considere las cargas siguientes: (a) el peso de la barra
y (b) el peso de la barra más una carga P en el extremo inferior. (Suponga un comportamiento
linealmente elástico.)
L
L
dx
(a)
dx
(b)
Figura 2.49 Ejemplo 2.13. (a) Barra
colgada por su propio peso y (b) barra
que cuelga por su propio peso y también
soporta una carga P.
P
Solución
(a) Energía de deformación debida al peso de la barra (figura 2.49a). La barra
está sometida a una fuerza axial variante, la fuerza interna es cero en su extremo
inferior y máxima en su extremo superior. Para determinar la fuerza axial, consideramos
un elemento con longitud dx (que se muestra sombreado en la figura) a una
distancia x desde el extremo superior. La fuerza axial interna N(x) que actúa sobre
este elemento es igual al peso de la barra debajo del elemento:
N(x) gA(L x) (d)
en donde g es el peso específico del material y A es el área de la sección transversal
de la barra. Sustituyendo en la ecuación (2.41) e integrando se obtiene la energía de
deformación total:
U
L
0
2
[N(
x)]
dx
2EA(
x)
0
L
[gA(L x)] 2 dx
2EA
2 A
g L 3 (2.46)
6E
(b) Energía de deformación debida al peso de la barra más la carga P (figura
2.49b). En este caso la fuerza axial N(x) que actúa sobre el elemento es
N(x) gA(L x) P
(e)
(compare con la ecuación d). Ahora de la ecuación (2.41) obtenemos
U
0
L
[gA(L x) P] 2 dx
2EA
g 2 L
6A
3
E
2 L
gPL P
2E
2EA
(2.47)
Nota: el primer término en esta expresión es igual que la energía de deformación
de una barra que cuelga bajo su propio peso (ecuación 2.46) y el último término
es igual que la energía de deformación de una barra sometida a una fuerza axial P
(ecuación 2.37a). Sin embargo, el término medio contiene tanto a g como a P, mostrando
que depende del peso de la barra y de la magnitud de la carga aplicada.
Por tanto, este ejemplo ilustra que la energía de deformación de una barra sometida
a dos cargas no es igual a la suma de las energías de deformación producidas
por las cargas individuales que actúan por separado.