Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

(a)
P
(b)
FIGURA 1.22 (Repetida.)
P
SECCIÓN 1.5 Elasticidad lineal, ley de Hooke y relación de Poisson 29
La relación de Poisson recibe su nombre en honor del matemático francés
Siméon Denis Poisson (1781-1840), quien intentó calcular esta relación
mediante una teoría molecular de los materiales (referencia 1.8). Para materiales
isotrópicos, Poisson determinó que n = 1/4. Cálculos más recientes
basados en mejores modelos de estructura atómica dan como resultado n =
1/3. Esas dos cifras están cercanas a los valores reales medidos, que están
en el rango de 0.25 a 0.35 para la mayor parte de los metales y para muchos
otros materiales. Entre los materiales con un valor extremadamente bajo de
la relación de Poisson se incluyen el corcho, para el cual n es prácticamente
cero y el concreto, para el cual n es aproximadamente 0.1 o 0.2. Un límite
teórico superior para la relación de Poisson es 0.5, como se explica en la
sección 7.5. El caucho se acerca a este valor limitante.
En el apéndice H se da una tabla de relaciones de Poisson para varios
materiales en el rango linealmente elástico (consulte la tabla H.2). Para la
mayor parte de los fines se supone que la relación de Poisson es la misma
tanto en tensión como en compresión.
Cuando las deformaciones unitarias en un material son grandes, la relación
de Poisson cambia. Por ejemplo, en el caso del acero estructural la relación
llega hasta 0.5 cuando ocurre la fluencia plástica. Así, la relación de Poisson
permanece constante sólo en el rango linealmente elástico. Cuando el comportamiento
del material es no lineal, la relación entre la deformación unitaria
lateral y la deformación unitaria axial con frecuencia se denomina relación de
contracción. Por supuesto, en el caso especial de comportamiento linealmente
elástico, la relación de contracción es igual que la relación de Poisson.
Limitaciones
Para un material particular, la relación de Poisson permanece constante en
todo el rango linealmente elástico, como ya se explicó antes. Por tanto,
en cualquier punto dado en la barra prismática de la figura 1.22, la deformación
unitaria lateral permanece proporcional a la deformación unitaria axial
conforme la carga aumenta o disminuye. Sin embargo, para un valor dado
de la carga (que significa que la deformación unitaria axial es constante en
toda la barra), se deben cumplir condiciones adicionales si las deformaciones
unitarias laterales deben ser las mismas en toda la barra.
En primer lugar, el material debe ser homogéneo, es decir, debe tener la
misma composición (y en consecuencia las mismas propiedades elásticas) en
cada punto. Sin embargo, tener un material homogéneo no significa que las
propiedades elásticas en un punto particular sean las mismas en todas las direcciones.
Por ejemplo, el módulo de elasticidad podría ser diferente en las direcciones
axial y lateral, como en el caso de un poste de madera). Por tanto, una
segunda condición para la uniformidad en las deformaciones unitarias laterales
es que las propiedades elásticas deben ser las mismas en todas las direcciones
perpendiculares al eje longitudinal. Cuando se cumplen las condiciones anteriores,
como es el caso frecuente con los metales, las deformaciones unitarias
laterales en una barra prismática sometida a una tensión uniforme serán las
mismas en cada punto en la barra y también en todas las direcciones laterales.
Los materiales que tienen las mismas propiedades en todas las direcciones
(ya sea axial, lateral o cualquier otra dirección) se llaman isotrópicos.
Si las propiedades difieren en distintas direcciones, el material es
anisotrópicos (aeolotrópico).
En este libro, todos los ejemplos y problemas se resuelven suponiendo
que el material es linealmente elástico, homogéneo e isótropo, a menos que
se especifique lo contrario.