Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

sección 6.3 Método de la sección transformada 467
transformada se analiza de la manera usual para una viga de un material.
Como paso final, los esfuerzos en la viga transformada se convierten en los
de la viga original.
1
b 1
y
Eje neutro y sección transformada
Para que la viga transformada sea equivalente a la viga original, su eje neutro
debe estar ubicado en el mismo lugar y su capacidad de resistencia de
momento debe ser la misma. Para demostrar cómo se cumplen estos requisitos,
considere de nuevo una viga compuesta de dos materiales (figura 6.9a).
El eje neutro de la sección transversal se obtiene con la ecuación (6.3), que
se repite a continuación:
E 1 ydA E 2 0 (6.11)
1
2ydA
z
2
O
b 2
(a)
En esta ecuación, las integrales representan los momentos estáticos de las
dos partes de la sección transversal con respecto al eje neutro.
Ahora introducimos la notación
b 1
y
n
E
E
2
1
(6.12)
z
1
1
O
donde n es la razón modular. Con esta notación, podemos rescribir la
ecuación (6.11) en la siguiente forma:
nb 2
(b)
ydA
1
yn dA 0 (6.13)
2
Figura 6.9 Viga compuesta de dos
materiales: (a) sección transversal real y
(b) sección transformada que consiste sólo
del material 1.
Como las ecuaciones (6.11) y (6.13) son equivalentes, la ecuación anterior
muestra que el eje neutro no cambia si cada elemento de área dA en el material
2 se multiplica por el factor n, siempre que la coordenada y para cada
elemento de área no cambie.
Por tanto, podemos crear una sección transversal que consista sólo de
dos partes: (1) área 1 con sus dimensiones sin cambiar y (2) área 2 con su
ancho (es decir, su dimensión paralela al eje neutro) multiplicada por n.
Esta nueva sección transversal (la sección transformada) se muestra en la
figura 6.9b para el caso en que E 2 > E 1 (y por tanto n > 1). Su eje neutro
está en la misma posición que el eje neutro de la viga original. (Observe que
todas las dimensiones perpendiculares al eje neutro permanecen iguales.)
Puesto que el esfuerzo en el material (para una deformación unitaria
dada) es proporcional al módulo de elasticidad (s = E), observamos que
al multiplicar el ancho del material 2 por n = E 2 /E 1 equivale a transformarlo
en el material 1. Por ejemplo, suponga que n = 10. Entonces, el área de la
parte 2 de la sección transversal ahora es 10 veces más ancho que antes.