Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

334 CapÍtulo 4 Fuerzas cortantes y momentos flexionantes
Ejemplo 4.6
V
A
0
M
0
x
Figura 4.20 Ejemplo 4.6. Viga en
voladizo con una carga uniforme.
q
L
(a)
(b)
(c)
B
R B
M B
–qL
qL
– ——
2
2
En la figura 4.20a se muestra una viga en voladizo que soporta una carga uniforme
con intensidad constante q. Dibuje los diagramas de fuerza cortante y de momento
flexionante para esta viga.
Solución
Reacciones. Las reacciones R B
y M B
en el apoyo fijo se obtienen de ecuaciones
de equilibrio para toda la viga; por tanto,
qL 2
R B qL M B
2
(4.31a,b)
Fuerzas cortantes y momentos flexionantes. Estas cantidades se determinan
cortando a través de la viga a una distancia x del extremo libre, dibujando un diagrama
de cuerpo libre de la parte izquierda de la viga y despejando las ecuaciones de
equilibrio. De esta manera obtenemos
V qx M
qx 2
2
(4.32a,b)
Los diagramas de fuerza cortante y de momento flexionante se obtienen al graficar
estas ecuaciones (consulte las figuras 4.20b y c). Observe que la pendiente del
diagrama de fuerza cortante es igual a –q (consulte la ecuación 4.4) y la pendiente
del diagrama de momento flexionante es igual a V (consulte la ecuación 4.6).
Los valores máximos de la fuerza cortante y del momento flexionante ocurren
en el apoyo fijo donde x = L:
qL 2
V máx ql M máx
2
(4.33a,b)
Estos valores son consistentes con los valores de las reacciones R B
y M B
(ecuaciones
4.31a y b).
Solución alternativa. En vez de emplear diagramas de cuerpo libre y ecuaciones
de equilibrio podemos determinar las fuerzas cortantes y los momentos flexionantes
integrando las relaciones diferenciales entre carga, fuerza cortante y momento
flexionante. La fuerza cortante V a una distancia x del extremo A se obtiene de la
carga integrando la ecuación (4.5) de la siguiente manera:
V V A V 0 V
x
qdx qx (a)
0
que concuerda con el resultado anterior (ecuación 4.32a).
El momento flexionante M a una distancia x del extremo se obtiene de la fuerza
cortante integrando la ecuación (4.7):
M M A M 0 M
x
V dx
0
x
0
qx dx
qx 2
2
(b)
que concuerda con la ecuación 4.32b.
Integrar las relaciones diferenciales es muy simple en este ejemplo debido a
que el patrón de carga es continuo y no hay cargas concentradas o pares en las regiones
de integración. Si estuvieran presentes cargas concentradas o pares, existirían
discontinuidades en los diagramas V y M, y no podríamos integrar la ecuación (4.5)
a través de una carga concentrada ni podríamos integrar la ecuación (4.7) a través de
un par (consulte la sección 4.4).