Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 9.9 Teorema de Castigliano 743
Ahora utilizamos la forma modificada del teorema de Castigliano (ecuación
9.88) para obtener el ángulo de rotación en el punto C:
u C
M ] M
EI ] M
C
dx
1
EI
0
L
] M
M AB
] M
A B
C
dx
1
EI
0
L /2
] M
M BC
] M
B C
C
dx
Al sustituir las expresiones para los momentos flexionantes y las derivadas parciales
obtenemos
u C
1
EI
0
L
qLx 1
2
Px 1 M C 1 q
2 Lx
2
x 2 1
x 1 dx 1
L
1
EI
0
L /2
( Px 2 M C )( 1)dx 2
Puesto que M C es una carga ficticia y como ya obtuvimos las derivadas parciales,
podemos igualar M C a cero en esta etapa de los cálculos y simplificamos las integraciones:
u C
1
EI
0
L
qLx 1
2
Px 1
2
qx 2 1
2
x 1 1
dx 1
L EI
0
L /2
( Px 2 )( 1)dx 2
Después de efectuar las integraciones y combinar términos obtenemos
2
7PL
u C
24EI
3
qL
24EI
(9.90)
Si esta ecuación produce un resultado positivo, el ángulo de rotación es en el sentido
de las manecillas del reloj. Si el resultado es negativo, el ángulo es en sentido contrario
al de las manecillas del reloj.
Al comparar los dos términos en la ecuación (9.90) observamos que el ángulo
de rotación es en el sentido de las manecillas del reloj cuando P > qL/7 y en sentido
contrario al de las manecillas del reloj cuando P < qL/7.
Si se dispone de datos numéricos, ahora es una cuestión de rutina sustituirlos
en las ecuaciones (9.89) y (9.90) y calcular la deflexión y el ángulo de rotación en
el extremo de la saliente.
q
P
M C
A
x 1 x 2
B
C
Figura 9.44 Momento ficticio M C que
actúa sobre la viga del ejemplo 9.18.
R A
L
L
—
2