Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 9.8 Energía de deformación por flexión 725
9.8 ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR FLEXIÓN
M
A
B
M
Los conceptos generales relativos a la energía de deformación se explicaron
antes en los análisis de barras sometidas a cargas axiales y ejes sometidos a
torsión (secciones 2.7 y 3.9, respectivamente). En esta sección aplicaremos
los mismos conceptos a vigas. Puesto que emplearemos las ecuaciones para
curvatura y deflexión deducidas antes en este capítulo, nuestro análisis de la
energía de deformación se aplica sólo a vigas que se comportan de manera
linealmente elástica. Este requisito significa que el material sigue la ley de
Hooke y que las deflexiones y rotaciones deben ser pequeñas.
Iniciemos con una viga simple AB en flexión pura ante la acción de
dos pares, cada uno con un momento M (figura 9.30a). La curva de deflexión
(figura 9.30b) es un arco circular casi plano con curvatura constante
k = M/EI (consulte la ecuación 9.6). El ángulo u subtendido por este arco
es igual a L/r, donde L es la longitud de la viga y r es el radio de curvatura.
Por tanto,
L
(a)
u
L
r
kL
ML
EI
(9.77)
r
u
r
Esta relación lineal entre los momentos M y el ángulo u se muestra de manera
gráfica por la línea OA en la figura 9.31. Conforme los pares de flexión
aumentan gradualmente su magnitud desde cero a sus valores máximos,
realizan un trabajo W representado por el área sombreada debajo de la
línea OA. Este trabajo, igual a la energía de deformación U almacenada en
la viga, es
A
Figura 9.30 Viga en flexión pura por
pares de momento M.
L
(b)
B
W
U
Mu
2
(9.78)
Esta ecuación es análoga a la ecuación (2.35) para la energía de deformación
de una barra cargada axialmente.
Al combinar las ecuaciones (9.77) y (9.78) podemos expresar la energía
de deformación almacenada en una viga en flexión pura en cualquiera
de las dos siguientes formas:
U
2
M L
2EI
U
EI
2L
u 2
(9.79a,b)
La primera de estas ecuaciones expresa la energía de deformación en términos
de los momentos aplicados M y la segunda ecuación la expresa en
términos del ángulo u. Las ecuaciones tienen una forma similar a las que
dan la energía de deformación en una barra cargada axialmente (ecuaciones
2.37a y b).
Si el momento flexionante en una viga varía a lo largo de su longitud
(flexión no uniforme), entonces podemos obtener la energía de deformación
aplicando las ecuaciones (9.79a) y (9.79b) a un elemento de la viga (figura
9.32) e integrando a lo largo de la misma. La longitud del propio elemento