Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

680 CapÍtulo 9 Deflexiones de vigas
la curva de deflexión con más detalle. La deflexión v en cualquier punto
m 1 sobre la curva de deflexión se muestra en la figura 9.2a. El punto m 1
está ubicado a una distancia x desde el origen (medida a lo largo del eje x),
también se muestra un segundo punto m 2 , ubicado a una distancia x + dx
desde el origen. La deflexión en este segundo punto es v + dv, donde dv es
el incremento en la deflexión conforme nos movemos a lo largo de la curva
de m 1 a m 2 .
Cuando la viga se flexiona, no sólo hay una deflexión en cada punto a
lo largo del eje, sino también una rotación. El ángulo de rotación u del eje
de la viga es el ángulo entre el eje x y la tangente a la curva de deflexión,
según se muestra para el punto m 1 en la vista ampliada de la figura 9.2b.
Para nuestra elección de ejes (x positivo hacia la derecha y y positivo hacia
arriba), el ángulo de rotación es positivo cuando es contrario al sentido de
las manecillas del reloj. (Otros nombres para el ángulo de rotación son ángulo
de inclinación y ángulo de la pendiente).
El ángulo de rotación en el punto m 2 es u + du, donde du es el incremento
angular conforme nos movemos del punto m 1 al punto m 2 . Se deduce
que si trazamos líneas normales a las tangentes (figuras 9.2a y b), el ángulo
entre estas normales es du. Además, como se estudió en la sección 5.3, el
punto de intersección de estas normales es el centro de curvatura O´ (figura
9.2a) y la distancia desde O´ hasta la curva es el radio de curvatura r.
En la figura 9.2a observamos que
r du ds (a)
en donde du está en radianes y ds es la distancia a lo largo de la curva de
deflexión entre los puntos m 1 y m 2 . Por tanto, la curvatura k (igual al recíproco
del radio de curvatura) está dada por la ecuación
k
1
r
du
ds (9.1)
La convención de signos para la curvatura se ilustra en la figura 9.3, que es
una repetición de la figura 5.6 de la sección 5.3. Observe que la curvatura
Oʹ
y
A
x
v
du
r
m 1 ds
m 2
dx
B
v dv
x
x
du
ds
m 2
m 1 u
v
dx
v dv
u du
x
Figura 9.2 Curva de deflexión de una
viga.
(a)
(b)