Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

694 CapÍtulo 9 Deflexiones de vigas
v
Pbx
6LEI (L2 b 2 x 2 ) (0 x a) (9.29a)
v
Pbx
6LEI (L2 b 2 x 2 )
P(x a) 3 (a x L) (9.29b)
6EI
La primera de estas ecuaciones da la curva de deflexión para la parte de la viga a la
izquierda de la carga P y la segunda da la curva de deflexión para la parte de la viga
a la derecha de la carga.
Las pendientes de las dos partes de la viga se pueden determinar ya sea sustituyendo
los valores de C 1 y C 2 en las ecuaciones (h) e (i) o bien obteniendo las primeras
derivadas de las ecuaciones de deflexión (ecuaciones 9.29a y b). Las ecuaciones
resultantes son
v
Pb
6LEI (L2 b 2 3x 2 ) (0 x a) (9.30a)
v
Pb
6LEI (L2 b 2 3x 2 )
P(x a) 2 (a x L) (9.30b)
2EI
A
P
B
La deflexión y la pendiente en cualquier punto a lo largo del eje de la viga se pueden
calcular con las ecuaciones (9.29) y (9.30).
Ángulos de rotación en los apoyos. Para obtener los ángulos de rotación u A y u B
en los extremos de la viga (figura 9.12b) sustituimos x = 0 en la ecuación (9.30a) y
x = L en la ecuación (9.30b):
A
y
u A
a
L
(a)
C D
d C
u B
b
B
x
u A v (0)
u B
v (L)
2
Pb(L b 2 )
6LEI
Pb(2L 2 3bL b 2 )
6LEI
Pab(
L b)
6LEI
Pab(
L a)
6LEI
(9.31a)
(9.31b)
Observe que el ángulo u A es en el sentido de las manecillas del reloj y u B es en sentido
contrario, como se muestra en la figura 9.12b.
Los ángulos de rotación son funciones de la posición de la carga y alcanzan sus
valores máximos cuando ésta se ubica cerca del punto medio de la viga. En el caso
del ángulo de rotación u A , el valor máximo del ángulo es
L
—
2
x 1
(b)
Figura 9.12 (Repetida.)
d máx
PL
3
(u A ) máx
27EI
2
(9.32)
y se presenta cuando b L/ 3 0.577L (o a = 0.423L). Este valor de b se obtiene
al derivar u A con respecto a b (empleando la primera de las dos expresiones para
u A en la ecuación 9.31a) y luego igualamos el resultado a cero.
Deflexión máxima de la viga. La deflexión máxima d máx ocurre en el punto D
(figura 9.12b) donde la curva de deflexión tiene una tangente horizontal. Si la carga
está a la derecha del punto medio, es decir, si a > b, el punto D está en la parte de la
viga a la izquierda de la carga. Podemos ubicar este punto igualando la pendiente v′
dada por la ecuación (9.30a) a cero y despejando la distancia x, que ahora denotamos
x 1 . De esta manera obtenemos la siguiente fórmula para x 1 :
x 1
L 2 3
b 2 (a b) (9.33)