Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

secCiÓn 9.2 Ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión 679
9.1 INTRODUCCIÓN
Cuando un viga con un eje longitudinal recto se carga con fuerzas laterales,
el eje se deforma y adopta una forma curva, denominada curva de
deflexión de la viga. En el capítulo 5, utilizamos la curvatura de la viga
flexionada para determinar las deformaciones unitarias normales y los esfuerzos
normales en la viga. Sin embargo, no desarrollamos un método para
encontrar la propia curva de deflexión. En este capítulo determinaremos la
ecuación de la curva de deflexión y también encontraremos las deflexiones
en puntos específicos a lo largo del eje de la viga.
El cálculo de deflexiones es una parte importante del análisis y diseño
estructural. Por ejemplo, determinar deflexiones es un ingrediente esencial
en el análisis de estructuras estáticamente indeterminadas (capítulo 10). Las
deflexiones también son importantes en el análisis dinámico, como cuando
se investigan las vibraciones de aeronaves o la respuesta de los edificios a
los sismos.
En ocasiones las deflexiones se calculan con el fin de verificar que estén
dentro de los límites tolerables. Por ejemplo, las especificaciones para
el diseño de edificios suelen fijar límites superiores para las deflexiones. Las
deflexiones grandes son inusuales (e incluso ponen nerviosos a sus ocupantes)
y pueden causar grietas en techos y paredes. En el diseño de máquinas y
aeronaves las especificaciones pueden limitar las deflexiones a fin de evitar
las vibraciones indeseables.
9.2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA CURVA DE DEFLEXIÓN
A
y
A
(a)
(b)
v
Figura 9.1 Curva de deflexión de una
viga en voladizo.
B
B
P
x
La mayor parte de los procedimientos para determinar las deflexiones se
basan en ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión y sus relaciones
asociadas; por esta razón iniciaremos deduciendo la ecuación básica para la
curva de deflexión de una viga.
Para fines de análisis, considere una viga en voladizo con una carga
concentrada que actúa hacia arriba en el extremo libre (figura 9.1a). Debido
a la acción de esta carga el eje de la viga se deforma y adopta una forma
curva, como se muestra en la figura 9.1b. Los ejes de referencia tienen su
origen en el empotramiento de la viga, con el eje x dirigido hacia la derecha
y el eje y dirigido hacia arriba. El eje z está dirigido hacia fuera de la figura
(hacia el observador).
Al igual que en nuestros anteriores análisis de flexión en vigas en el
capítulo 5, suponemos que el plano xy es un plano de simetría de la viga y
que todas las cargas actúan en él (el plano de flexión).
La deflexión v es el desplazamiento en la dirección y de cualquier punto
sobre el eje de la viga (figura 9.1b). Dado que el eje y es positivo hacia
arriba, las deflexiones también son positivas hacia arriba. *
Para obtener la ecuación de la curva de deflexión, debemos expresar la deflexión
v como una función de la coordenada x. Por tanto, consideremos ahora
* Como ya se mencionó en la sección 5.1, los símbolos tradicionales para los desplazamientos
en las direcciones x, y y z son u, v y w, respectivamente. La ventaja de esta notación es que
enfatiza la distinción entre coordenada y desplazamiento.