Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

546 CapÍtulo 7 Análisis de esfuerzo y deformación unitaria
Ejemplo 7.1
Un elemento en esfuerzo plano está sometido a esfuerzos s x = 16,000 psi, s y =
6000 psi y t xy = t yx = 4000 psi, como se muestra en la figura 7.7a.
Determine los esfuerzos que actúan sobre un elemento inclinado a un ángulo
u = 45°.
Figura 7.7 Ejemplo 7.1.
(a) Elemento en esfuerzo
plano y (b) elemento inclinado
a un ángulo u = 45°.
s x
t xy
t yx
O
y
(a)
s y = 6000 psi
s y
t yx
t xy = 4000 psi
s x = 16,000 psi
x
y
x 1
y 1
s x1 = 15,000
psi u = 45°
s y1 = 7000 psi
t x1 y 1
= –5000 psi
O
x
s x1
(b)
s y1
Solución
Ecuaciones de transformación. Para determinar los esfuerzos que actúan sobre
un elemento inclinado utilizaremos las ecuaciones de transformación (ecuaciones
7.4a y 7.4b). Al sustituir en estas ecuaciones los datos numéricos dados, obtenemos
los siguientes valores
s x
2
s y
s x 2 s y
11,000 psi
5000 psi t xy 4000 psi
2
sen 2u sen 90° 1 cos 2u cos 90° 0
Al sustituir estos valores en las ecuaciones (7.4a) y (7.4b), obtenemos
s x s y s x 2 s y
s x1 cos 2u
2 2
txy sen 2u
11,000 psi (5000 psi)(0) (4000 psi)(1) 15,000 psi
s x 2 s y
t x1 y 1 sen 2u
2
txy cos 2u
(5000 psi)(1) (4000 psi)(0) 5000 psi
Además, el esfuerzo u y1 se puede obtener con la ecuación (7.5):
s x s y s x 2 s y
s y1 cos 2u txy sen 2u
2 2
11,000 psi (5000 psi)(0) (4000 psi)(1) 7000 psi
Elementos de esfuerzo. A partir de estos resultados es fácil obtener los esfuerzos
que actúan sobre todos los lados de un elemento orientado a u = 45°, como se
muestra en la figura 7.7b. Las flechas muestran las direcciones reales en que actúan.
Observe en especial las direcciones de los esfuerzos cortantes, que tienen todos la
misma magnitud. También observe que la suma de los esfuerzos normales permanece
constante e igual a 22,000 psi (consulte la ecuación 7.6).
Nota: los esfuerzos que se muestran en la figura 7.7b representan el mismo
estado de esfuerzo intrínseco que los esfuerzos que se ilustran en la figura 7.7a. Sin
embargo, los esfuerzos tienen valores diferentes debido a que los elementos sobre
los que actúan tienen orientaciones distintas.