Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

684 CapÍtulo 9 Deflexiones de vigas
Nos referiremos a estas ecuaciones como ecuación del momento flexionante,
ecuación de la fuerza cortante y ecuación de la carga, respectivamente.
En las dos siguientes secciones emplearemos las ecuaciones anteriores
para encontrar deflexiones de vigas. El procedimiento general consiste en
integrar las ecuaciones y luego evaluar las constantes de integración a partir
de condiciones de frontera y de otras condiciones relativas a la viga.
Al deducir las ecuaciones diferenciales (ecuaciones 9.9, 9.10 y 9.12),
supusimos que el material seguía la ley de Hooke y que las pendientes de la
curva de deflexión eran muy pequeñas. También supusimos que cualesquiera
deformaciones por cortante eran despreciables; en consecuencia, consideramos
sólo las deformaciones debidas a flexión pura. La mayor parte de
las vigas en uso común satisfacen estas suposiciones.
Expresión exacta para la curvatura
Si la curva de deflexión de una viga tiene pendientes grandes, no podemos
emplear las aproximaciones dadas por las ecuaciones (b) y (c), por lo que
debemos recurrir a las expresiones exactas para la curvatura y el ángulo de
rotación (consulte las ecuaciones 9.1 y 9.2b). Al combinar estas expresiones
obtenemos
k
1
r
du
ds
De la figura 9.2, observamos que
d(arctan v ) dx
dx
ds
(e) (e)
ds 2 dx 2 dv 2 o ds [dx 2 dv 2 ] 1/2 (f,g)
y dividiendo los dos lados de la ecuación (g) entre dx da
ds
dx
1
dv
dx
2 1/2
[1 (v ) 2 ] 1/2 o
dx
1
ds [1 ( v ) 2 ] 1/2
(h,i)
Además, la derivada de la función arco tangente (consulte el apéndice C) da
d
dx (arctanv ) 1
v
(v ) 2 (j)(j)
Al sustituir las expresiones (i) y (j) en la ecuación para la curvatura (ecuación
e) obtenemos
1 v
k
(9-13) (9.13)
r [1 ( v ) 2 ] 3/2
Al comparar esta ecuación con la ecuación (9.5), observamos que la suposición
de rotaciones pequeñas es equivalente a ignorar (v′) 2 en comparación
con uno. La ecuación (9.13) se debe emplear para la curvatura siempre que
las pendientes sean grandes. *
* La relación básica que establece que la curvatura de una viga es proporcional al momento
flexionante (ecuación 9.6) la obtuvo por primera vez Jacob Bernoulli, si bien él calculó un
valor incorrecto para la constante de proporcionalidad. La relación fue utilizada más tarde por
Euler, quien resolvió la ecuación diferencial de la curva de deflexión para deflexiones grandes
(empleando la ecuación 9.13) y deflexiones pequeñas (utilizando la ecuación 9.7). Para ver la
historia de las curvas de deflexión, consulte la referencia 9.1.