Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

238 CapÍtulo 3 Torsión
3.4 TORSIÓN NO UNIFORME
T 1 T 2 T 3 T 4
A
B
C D
L AB L BC L CD
(a)
T 1 T 2 T 3
T CD
A
B
C
(b)
T 1
T BC
A
B
T 2
(d)
(c)
T 1
T AB
A
FIG. Figura 3-14 3.14 Barra en torsión no uniforme
(caso 1).
Como se explicó en la sección 3.2, torsión pura se refiere a la torsión de una
barra prismática sometida a pares de torsión que actúan sólo en sus extremos.
Torsión no uniforme difiere de la torsión pura en que no se requiere
que la barra sea prismática y los pares de torsión aplicados pueden actuar en
cualquier parte a lo largo del eje de la barra. Las barras en torsión no uniforme
se pueden analizar aplicando las fórmulas de torsión pura a segmentos
finitos de la barra y luego se suman los resultados, o se aplican las fórmulas
a elementos diferenciales de la barra y luego se integran.
Para ilustrar estos procedimientos, consideraremos tres casos de torsión
no uniforme. Otros casos se pueden manejar mediante técnicas similares a
las que aquí se describirán.
Caso 1. Barra constituida de segmentos prismáticos con par de torsión
constante en cada segmento (figura 3.14). La barra que se muestra en la parte
(a) de la figura tiene dos diámetros diferentes y está sometida a pares de torsión
que actúan en los puntos A, B, C y D. En consecuencia, dividimos la barra en
segmentos, de tal manera que cada uno sea prismático y esté sometido a un par
de torsión constante. En este ejemplo hay tres segmentos, AB, BC y CD. Cada
segmento está en torsión pura, y por tanto, se pueden aplicar todas las fórmulas
deducidas en la sección anterior a cada segmento por separado.
El primer paso en el análisis es determinar la magnitud y el sentido del par
de torsión interno en cada segmento. Es usual que los pares de torsión se determinen
por inspección, pero si es necesario se pueden encontrar al cortar secciones
a través de la barra, trazar diagramas de cuerpo libre y resolver ecuaciones
de equilibrio. Este proceso se ilustra en las partes (b), (c) y (d) de la figura. El
primer corte se hace en cualquier parte del segmento CD, con lo cual se expone
el par de torsión interno T CD . Del diagrama de cuerpo libre (figura 3.14b), observamos
que T CD es igual a –T 1 – T 2 + T 3 . Del siguiente diagrama vemos que
T BC es igual a –T 1 – T 2 y del último tenemos que T AB es igual a –T 1 . Por tanto,
T CD T 1 T 2 T 3 T BC T 1 T 2 T AB T 1
(a,b,c)
Cada uno de estos pares de torsión es constante en toda la longitud de su
segmento.
Al determinar los esfuerzos cortantes en cada segmento, sólo necesitamos
las magnitudes de estos pares de torsión internos, ya que las direcciones
de los esfuerzos no son de interés. Sin embargo, al obtener el ángulo
de torsión para toda la barra, necesitamos conocer la dirección o sentido de la
torsión en cada segmento a fin de combinar los ángulos de torsión de manera
correcta. Por tanto, es necesario establecer una convención de signos
para los pares de torsión internos. Una regla conveniente en muchos casos
es la siguiente: un par de torsión es positivo cuando su vector apunta en dirección
contraria a la sección cortada y negativo cuando su vector apunta
hacia la sección. De esta manera, todos los pares de torsión internos que
se muestran en la figuras 3.14b, c y d están representados con sus sentidos
positivos. Si el par de torsión calculado (con la ecuación a, b o c) resulta
tener un signo positivo, significa que actúa en el sentido supuesto; si el par
de torsión tiene un signo negativo, actúa en el sentido opuesto.
El esfuerzo cortante máximo en cada segmento de la barra se obtiene
fácilmente a partir de la fórmula de la torsión (ecuación 3.11) al emplear las