Mecanica de Materiales - 7ma.Ed_James

702 CapÍtulo 9 Deflexiones de vigas
9.5 MÉTODO DE SUPERPOSICIÓN
A
y
— L 2
C
A C
B x
d C
u A
u B
L
—
2
(a)
P
(b)
Figura 9.16 Viga simple con dos cargas.
q
L
—
2
L
—
2
B
El método de superposición es una técnica práctica de uso común para
obtener deflexiones y ángulos de rotación de vigas. El concepto subyacente
es muy simple y se puede enunciar así:
En condiciones adecuadas, la deflexión de una viga producida por varias
cargas diferentes que actúan de manera simultánea se puede determinar
superponiendo las deflexiones producidas por las mismas cargas al
actuar por separado.
Por ejemplo, si v 1 representa la deflexión en un punto particular en el eje
de una viga debida a una carga q 1 y si v 2 representa la deflexión en el mismo
punto debida a una carga diferente q 2 , entonces la deflexión en ese punto
debida a las cargas q 1 y q 2 en acción simultánea es v 1 + v 2 . (Las cargas q 1 y
q 2 son independientes y cada una puede actuar en cualquier parte a lo largo
del eje de la viga.)
La razón para superponer deflexiones se basa en la naturaleza de las
ecuaciones diferenciales de la curva de deflexión (ecuaciones 9.12a, b y c).
Éstas son ecuaciones diferenciales lineales, debido a que todos los términos
que contienen la deflexión v y sus derivadas están elevados a la primera
potencia. Por tanto, las soluciones de estas ecuaciones para varias condiciones
de carga se pueden sumar de manera algebraica, o superponer. (Las
condicione para que la superposición sea válida se describen más adelante
en la subsección “Principio de superposición”.)
Como ejemplo del método de superposición, considere la viga simple
ACB que se muestra en la figura 9.16a. Esta viga soporta dos cargas: (1)
una carga uniforme con intensidad q que actúa sobre todo el claro y (2) una
carga concentrada P que actúa a la mitad del claro. Suponga que queremos
encontrar la deflexión d C en el punto medio y los ángulos de rotación u A y
u B en los extremos (figura 9.16b). Al utilizar el método de superposición
obtenemos los efectos de cada carga al actuar de manera independiente y
luego combinamos los resultados.
Para la carga uniforme que actúa sola, la deflexión en el centro del
claro y los ángulos de rotación se obtienen con las fórmulas del ejemplo 9.1
(consulte las ecuaciones 9.18, 9.19 y 9.20):
4
5qL
(d C ) 1
384EI
qL
(u A ) 1 (u B ) 1
24EI
en donde EI es la rigidez a la flexión de la viga y L es su longitud.
Para la carga P que actúa sola, las cantidades correspondientes se obtienen
con las fórmulas del ejemplo 9.3 (consulte las ecuaciones 9.38 y 9.39):
3
PL
(d C ) 2
48EI
PL
(u A ) 2 (u B ) 2
16EI
La deflexión y los ángulos de rotación debidos a las cargas combinadas
(figura 9.16a) se obtienen sumando sus valores individuales:
2
3
3
5qL
PL
d C (d C ) 1 (d C ) 2
384EI 48EI
2
qL
PL
u A u B (u A ) 1 (u A ) 2
24EI 16EI
4
3
(a)
(b)