Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

A solução da Eq. (5.2) representa a solução fundamental para deslocamentos.
No caso plano de deformação a solução é dada por:
1 ⎡ ⎛ 1 ⎞
( f , c)
⋅ ⎢(
3−
4⋅υ
) ⋅ln⎜
⎟⋅δ
lk + r,
l ⋅ r
8⋅π
⋅ µ ⋅(
1−υ
) ⎣ ⎝ r ⎠
*
u lk = , k
em que: r,k é a derivada da distância, entre o ponto fonte e os pontos onde devem ser
avaliados a solução fundamental, pontos campo, em relação a direção k.
Deve-se destacar que o símbolo * representa variáveis associadas ao estado
fundamental. Efetuando a diferenciação da Eq. (5.3) é possível obter a expressão para a
solução fundamental das deformações. O resultado dessa operação é dado por:
*
ilk
[ ( 1−
2⋅υ
) ⋅(
r ⋅δ
+ r ⋅δ
) − r ⋅ + 2⋅
r ⋅ r r ]
−1
( , ) = ⋅
δ ⋅
8⋅π
⋅ µ ⋅(
1−υ
) ⋅ r
ε (5.4)
f c
, k il , l ik , i lk , i , l , k
A partir da solução fundamental das deformações pode se aplicar a Lei de Hooke
generalizada, Eq. (I.5), e assim obter a expressão para a solução fundamental das
tensões conforme apresenta a Eq. (5.5).
*
ilk
[ ( 1−
2⋅υ
) ⋅(
r ⋅δ
+ r ⋅δ
− r ⋅ ) + 2⋅
r ⋅r
r ]
−1
( , ) = ⋅
δ
⋅
4⋅π
⋅(
1−υ
) ⋅r
σ (5.5)
f c
, k il , l ik , i lk , i , l , k
Por fim, o equilíbrio pode ser efetuado no contorno com o objetivo de obter a
expressão para a solução fundamental das forças de superfície. Efetuando esse
procedimento resulta a seguinte expressão:
{ ⎡ , υ δ ⎤ , , υ η , η , }
*
−1
Plk ( f , c) = ⋅ r n ⋅ (1− 2 ⋅ ) ⋅ lk + 2 ⋅ rl ⋅ r k + (1− 2 ⋅ ) ⋅( l ⋅ r k − k ⋅ rl
)
4 ⋅π ⋅(1 −υ) ⋅ r ⎣ ⎦
Para problemas tridimensionais o procedimento para a obtenção das soluções
fundamentais é análogo. A seguir são apresentadas as expressões das soluções
fundamentais para o problema tridimensional.
*
ilk
1
u ( f , c) = ⋅[ (3 − 4 ⋅υ) ] ⋅ δ + r ⋅ r
16 ⋅π ⋅ µ ⋅(1 −υ) ⋅r
*
lk lk , l , k
[ ( 1−
2⋅υ
) ⋅(
r ⋅δ
+ r ⋅δ
) − r ⋅ + 3⋅
r ⋅ r r ]
−1
( , ) = ⋅
δ ⋅
16⋅π
⋅ µ ⋅(
1−υ
) ⋅ r
ε (5.8)
*
ilk
f c
2
, k il , l ik , i lk , i , l , k
[ ( 1−
2⋅υ
) ⋅(
r ⋅δ
+ r ⋅δ
− r ⋅ ) + 3⋅
r ⋅r
r ]
−1
( , ) = ⋅
δ
⋅
8⋅π
⋅(
1−υ
) ⋅ r
σ (5.9)
f c
2
, k il , l ik , i lk , i , l , k
{ ⎡ , υ δ ⎤ , , υ η , η , }
*
−1
Plk ( f , c) = ⋅ r (1 2 ) 3 (1 2 ) ( )
2 n ⋅ − ⋅ ⋅ lk + ⋅ r l ⋅ r k + − ⋅ ⋅ l ⋅ r k − k ⋅ r l (5.10)
8 ⋅π ⋅(1 −υ) ⋅ r ⎣ ⎦
As expressões das soluções fundamentais apresentadas possuem uma
característica importante que é a singularidade, representada pela distância entre os
Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________
⎤
⎥
⎦
93
(5.3)
(5.6)
(5.7)