Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

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A solução da Eq. (5.2) representa a solução fundamental para deslocamentos. No caso plano de deformação a solução é dada por: 1 ⎡ ⎛ 1 ⎞ ( f , c) ⋅ ⎢( 3− 4⋅υ ) ⋅ln⎜ ⎟⋅δ lk + r, l ⋅ r 8⋅π ⋅ µ ⋅( 1−υ ) ⎣ ⎝ r ⎠ * u lk = , k em que: r,k é a derivada da distância, entre o ponto fonte e os pontos onde devem ser avaliados a solução fundamental, pontos campo, em relação a direção k. Deve-se destacar que o símbolo * representa variáveis associadas ao estado fundamental. Efetuando a diferenciação da Eq. (5.3) é possível obter a expressão para a solução fundamental das deformações. O resultado dessa operação é dado por: * ilk [ ( 1− 2⋅υ ) ⋅( r ⋅δ + r ⋅δ ) − r ⋅ + 2⋅ r ⋅ r r ] −1 ( , ) = ⋅ δ ⋅ 8⋅π ⋅ µ ⋅( 1−υ ) ⋅ r ε (5.4) f c , k il , l ik , i lk , i , l , k A partir da solução fundamental das deformações pode se aplicar a Lei de Hooke generalizada, Eq. (I.5), e assim obter a expressão para a solução fundamental das tensões conforme apresenta a Eq. (5.5). * ilk [ ( 1− 2⋅υ ) ⋅( r ⋅δ + r ⋅δ − r ⋅ ) + 2⋅ r ⋅r r ] −1 ( , ) = ⋅ δ ⋅ 4⋅π ⋅( 1−υ ) ⋅r σ (5.5) f c , k il , l ik , i lk , i , l , k Por fim, o equilíbrio pode ser efetuado no contorno com o objetivo de obter a expressão para a solução fundamental das forças de superfície. Efetuando esse procedimento resulta a seguinte expressão: { ⎡ , υ δ ⎤ , , υ η , η , } * −1 Plk ( f , c) = ⋅ r n ⋅ (1− 2 ⋅ ) ⋅ lk + 2 ⋅ rl ⋅ r k + (1− 2 ⋅ ) ⋅( l ⋅ r k − k ⋅ rl ) 4 ⋅π ⋅(1 −υ) ⋅ r ⎣ ⎦ Para problemas tridimensionais o procedimento para a obtenção das soluções fundamentais é análogo. A seguir são apresentadas as expressões das soluções fundamentais para o problema tridimensional. * ilk 1 u ( f , c) = ⋅[ (3 − 4 ⋅υ) ] ⋅ δ + r ⋅ r 16 ⋅π ⋅ µ ⋅(1 −υ) ⋅r * lk lk , l , k [ ( 1− 2⋅υ ) ⋅( r ⋅δ + r ⋅δ ) − r ⋅ + 3⋅ r ⋅ r r ] −1 ( , ) = ⋅ δ ⋅ 16⋅π ⋅ µ ⋅( 1−υ ) ⋅ r ε (5.8) * ilk f c 2 , k il , l ik , i lk , i , l , k [ ( 1− 2⋅υ ) ⋅( r ⋅δ + r ⋅δ − r ⋅ ) + 3⋅ r ⋅r r ] −1 ( , ) = ⋅ δ ⋅ 8⋅π ⋅( 1−υ ) ⋅ r σ (5.9) f c 2 , k il , l ik , i lk , i , l , k { ⎡ , υ δ ⎤ , , υ η , η , } * −1 Plk ( f , c) = ⋅ r (1 2 ) 3 (1 2 ) ( ) 2 n ⋅ − ⋅ ⋅ lk + ⋅ r l ⋅ r k + − ⋅ ⋅ l ⋅ r k − k ⋅ r l (5.10) 8 ⋅π ⋅(1 −υ) ⋅ r ⎣ ⎦ As expressões das soluções fundamentais apresentadas possuem uma característica importante que é a singularidade, representada pela distância entre os Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________ ⎤ ⎥ ⎦ 93 (5.3) (5.6) (5.7)
pontos fonte e campo. Quando os pontos fonte e campo aproximam-se o valor das soluções fundamentais tendem a infinito. Isso requer um procedimento mais preciso de integração dos termos das matrizes constituintes do problema. Para contornar esse problema pode ser empregado o processo de sub-elementação, Anexo C, onde o elemento de contorno considerado é subdividido em elementos menores permitindo um melhor mapeamento das grandezas envolvidas tornando o processo de integração das equações mais preciso. 5.2 – Equacionamento para o Problema Elástico Plano O equacionamento do problema elástico via MEC pode ser efetuado com sucesso e de forma expedita empregando o princípio da reciprocidade de Betti. Este teorema estabelece que o trabalho realizado pelas tensões de um estado I sobre as deformações de um estado II é igual ao trabalho das tensões do estado II sobre as deformações do estado I admitindo-se o mesmo material em ambos os estados. Esse teorema pode ser representado por meio da Eq. (5.11). ∫ Ω Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________ ∫ I II II I σ ⋅ε dΩ= σ ⋅ε dΩ (5.11) ij ij Ω Aplicando esta equação para a formulação do MEC deve-se substituir um dos estados do problema pelo estado fundamental, ou seja, representado pelas soluções fundamentais. Assim a Eq. (5.11) pode ser reescrita como: ∫ Ω ∫ ij ij * * σ ( , c) ⋅ε ( c) dΩ= σ ( c) ⋅ε ( f , c) dΩ (5.12) ilk f lk lk ilk Ω Aplicando a relação deformação-deslocamento, Eq. (I.7), é possível exprimir a relação (5.12) em termos de deslocamentos. ∫ Ω ∫ * * σ ( , c) ⋅u ( c) dΩ= σ ( c) ⋅u ( f , c) dΩ (5.13) ilk f l, k lk il, k Ω Integrando por partes ambos os termos da Eq. (5.13) e aplicando a condição de equilíbrio de superfície, representada pela Eq. (I.3), pode-se obter uma expressão envolvendo tensões, deslocamentos e forças de superfície tanto do estado fundamental quanto do problema estudado. Dessa forma: ∫ Ω ∫ ∫ * * * * − σ ( , c) ⋅u ( c) dΩ+ P ( f , c) ⋅u ( c) dΓ= − σ ( c) ⋅u ( f , c) dΩ+ P ( c) ⋅u ( f , c) dΓ (5.14) ilk , k f l il l lk, k il l il Γ Ω Γ ∫ 94
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA D
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Dedico esse trabalho carinhosamente
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8. - Modelo de Fadiga para Metais e
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Vale ressaltar que o procedimento d
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BAZANT, Z.P; LI, Y. N. (1995). Stab
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CRUSE, T. A. (1969). Numerical solu
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FERRO, N.C.P.; VENTURINI, W.S. (199
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HERTZ,H. (1882). On the contact of
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KRAJCINOVIC, D; MASTILOVIC,S. (2001
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MACIEL, D.N. (2003), Determinação
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MODEER,M. (1979). A Fracture Mechan
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PARIS, F; CAÑAS, J. (1997). Bounda
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