Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

Como na formulação serão consideradas estruturas formadas por vários sub-
domínios a Eq.(6.46) pode ser escrita em termos de somatórios.
Nd Nd
ii i ii i
i= 1 i=
1
Capítulo 6 – Formulações Não Lineares do MEC para a Análise de Problemas de Fratura e Contato
149
∑ H U = ∑ G P
(6.47)
Onde Nd refere-se ao número de domínios presentes na análise. Pode-se
reescrever a Eq. (6.47) em termos dos pontos fontes. Estes serão separados em pontos
fontes pertencentes a região de contato e pontos fontes fora da região de contato.
Ndn Ndc Ndn Ndc
i i j j i i j j
∑ H U + ∑ H U = ∑G P + ∑ G P
(6.48)
i= 1 j= 1 i= 1 j=
1
Nesta equação Ndn representa os pontos fontes fora da região do contato e Ndc
são os pontos fontes dentro da região do contato. Sendo que a soma entre Ndn e Ndc
resulta no número total de pontos fontes presentes na análise. A partir da Eq. (6.48)
pode-se expandir os termos presentes na região do contato nas direções normal e
paralela a interface de contato. Para isto utiliza-se a matriz de rotação apresentada na
Eq. (6.8) já discutida anteriormente. Assim:
⎛ ⎞
+ + + = +
k k k k
Ndn Nic Ndc Ndc Ndc Ndc Ndn
i i j j j j j j j j i i
∑ H U ∑⎜ ∑ H dpU dp ∑ H dnU dn ∑ HepU ep ∑ HenU en ⎟ ∑ G P
i= 1 k = 1 ⎝ j= 1 j= 1 j= 1 j= 1 ⎠k
i=
1
k k k k
⎛ ⎞
Nic Ndc
j j
GdpPdp Ndc Ndc
j j j j
GdnPdn GepPep Ndc
j j
GenPen k = 1 j= 1 j= 1 j= 1 j=
1
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (6.49)
+ ⎜ + + ⎟
⎝ ⎠
Na Eq. (6.49) Nic indica o número de interfaces de contato. O sub-índices e e d
representam as faces esquerda e direita do contato respectivamente, enquanto os sub-
índices p e n indicam as direções paralela e normal à interface de contato considerada.
O sistema de equações mostrado na Eq. (6.49) pode ser resolvido para as
grandezas conhecidas na região fora do contato. Dessa forma:
k k k k
Ndn Nic ⎛ Ndc Ndc Ndc Ndc ⎞
i i j j j j j j j j
Y ( U , P) = ∑ A X + ∑⎜ ∑ H dpU dp + ∑ H dnU dn ∑ HepU ep + ∑ HenU en ⎟ − F
i= 1 k = 1 ⎝ j= 1 j= 1 j= 1 j=
1 ⎠
A matriz
k k k k
⎛ ⎞
Nic Ndc
j j
GdpPdp Ndc Ndc
j j j j
GdnPdn GepPep Ndc
j j
GenPen k = 1 j= 1 j= 1 j= 1 j=
1
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (6.50)
− ⎜ + + ⎟
⎝ ⎠
i
A resulta da troca de colunas entre as matrizes
k
k
k
i i
H eG
respectivamente. O vetor F é obtido a partir das grandezas conhecidas na região fora
da interface de contato.