Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

* * *
pi ⎪⎧ 2⋅
µ ⋅υ
∂u ⎛
lk ∂u
∂u
⎞
ik jk ⎪⎫
σ ij = ∫ ⎨ ⋅δ ij ⋅ + µ ⋅ ⎜ + ⎟⎬
Pk dΓ
(1− 2 ⋅υ) ∂x ⎜
l ∂x j ∂x
⎟
Γ ⎩⎪ ⎝ i ⎠⎪⎭
−∫ Γ
⎪⎧
* ⎛ * *
2⋅
µ ⋅υ
∂P
∂ ⎞⎪⎫
⎨
⎜
∂ P
lk Pik
jk
⋅δ
⋅ + ⋅ + ⎟
ij µ
⎬ u dΓ
⎪⎩
− ⋅ ∂x
⎜ ⎟ k
( 1 2 υ)
l ⎝ ∂x
j ∂xi
⎠⎪⎭
A Eq. (5.45) pode ser escrita de forma compacta como:
σ
= D ⋅ P dΓ − S ⋅U dΓ
pi
ij kij k kij k
Γ Γ
Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________
103
(5.45)
∫ ∫ (5.46)
Sendo os termos kij kij S e D dados pelas seguintes expressões:
{ ( 1−
2⋅υ
) ⋅(
r ⋅δ
+ r ⋅δ
− r ⋅ ) + 2⋅
r ⋅r
⋅r
}
1
= δ
4⋅
π ⋅(
1−υ
) ⋅r
D kij
⋅
, k ij , j ki , i jk , i , j , k
[ ( 1−
2⋅υ
) ⋅r
⋅δ
+ υ ⋅(
r ⋅δ
+ r ⋅ ) − 4⋅
r ⋅ r ⋅r
]
E
S kij = ⋅{
2⋅
r,
n ⋅
, k ij , j ik , i δ
2 2
jk , i , j , k
4⋅π
⋅(
1−υ
) ⋅ r
+ 2 ⋅ ⋅ ( η i ⋅ r, j ⋅ r,
k + η,
j ⋅ r,
i ⋅ r,
)
(5.47)
υ , k
(5.48)
{ ( 1−
2 ⋅υ)
⋅ ( 2 ⋅η
⋅ r ⋅ r + η ⋅δ
+ η ⋅δ
) − ( 1−
4 ⋅υ)
⋅η
⋅δ
}
+ , k , i , j , j ik , i jk
, k
Em forma matricial a Eq. (5.46) pode ser escrita como:
As matrizes
⎧σ ⎫
11
NE NE
pi ⎪ ⎪
j j
⎨ 12 ⎬ ⎣ INF ⎦ n ⎣ INF ⎦ n
⎪ j= 1 j=
1
σ ⎪
22
'' ''
{ σ} = σ = ⎡G ⎤{ p} − ⎡H ⎤{
u}
⎩ ⎭
∑ ∑ (5.49)
'' ''
H INF e G INF indicam as matrizes resultantes do processo de
integração das variáveis kij kij D e S respectivamente sendo o ponto fonte o ponto interno
ao domínio.
5.7 – Formulações do MEC em Problemas de Fratura
Diversas são as metodologias para a análise de problemas de fratura via MEC. A
primeira a ser proposta trata do emprego da formulação singular, a qual é baseada
somente na equação integral em deslocamentos apresentada na Eq. (5.27). Por meio
desta formulação os elementos de contorno adotados na discretização de ambas as faces
da fissura empregam equações algébricas baseadas na Eq. (5.27). Utilizando esse
procedimento a fissura é considerada no modelo como um vazio, estando as faces da
fissura separadas por uma pequena distância. Assim quanto menor for a distância entre
as faces da fissura mais próxima a geometria do modelo numérico estará do modelo
ij