Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

A evolução da plastificação,
.
p
ε ≠ 0 , ocorre apenas se ( ) 0
Capítulo 7 – Acoplamento entre Método dos Elementos de Contorno e Método dos Elementos Finitos
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f σ = , ou seja, se
σ = σ y . Caso f ( σ ) < 0 a resposta imediata do material é exclusivamente elástica e
. .
e p
.
ε = ε , ε = 0 . Usualmente denomina-se .
λ ≥ 0 ao valor do módulo da taxa de deformação
plástica. Portanto valem as relações:
forma:
. .
p
ε = λ, se σ = σ
(7.34)
. .
p
De modo compacto, pode-se escrever que:
y
ε = − λ, se σ = − σ
(7.35)
. .
p
sendo que sign( σ ) = 1, seσ > 0 e sign( σ ) = − 1, seσ
< 0 .
Entre .
y
ε = λ⋅ sign(
σ )
(7.36)
λ e f há, portanto, uma clara condição de complementaridade, expressa na
.
λ⋅ f = 0
(7.37)
Porém, um estado de tensão tal que f ( σ ) = 0 não implica obrigatoriamente em
evolução da plastificação. É necessário verificar a variação da função f no tempo,
. ∂f
f
= . Caso f = 0 e
∂ t
.
f = 0 , poderá haver evolução da plastificação, pois o novo estado
de tensão se manterá sobre o nível limite y
configura-se uma situação de descarregamento e
σ e, portanto .
plástica. Com isso se estabelece a condição de consistência dada por:
.
. .
.
λ > 0 . Se f = 0 e
.
f < 0
λ = 0 não ocorrendo deformação
λ⋅ f = 0
(7.38)
A condição de consistência permite obter uma expressão para
f = 0 . Utilizando as Eq. (7.32), Eq. (7.33) e Eq. (7.36) obtêm-se:
. .
∂f ∂σ
∂ σ . ⎛ . ⎞
. .
p
f = = ⋅ σ = sign( σ ) ⋅ E ⋅⎜ ε − ε ⎟ = sign ( σ ) ⋅ E ⋅ε − sign( σ ) ⋅ E ⋅λ⋅ sign ( σ ) = 0
∂σ ∂t ∂t
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Sabendo-se que ( ) 2
sign σ
⎡
⎣
⎤
⎦ = 1,
tem-se:
. .
sign ( )
.
λ impondo-se
(7.39)
λ = σ ε
(7.40)