Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

Nesse ponto deve-se empregar a equação de equilíbrio, representada pela Eq.
(I.2), tanto no problema real quanto no problema fundamental como forma de substituir
os termos de derivada das tensões por forças de corpo. Deve-se atentar para o fato que
no problema fundamental a carga de corpo, b i , é igual à função Delta de Dirac,
Efetuando essas substituições pode-se reescrever a Eq. (5.14) como:
∫
Ω
expressão:
∫
ul ( c)
dΩ+
*
Pil
( f , c)
⋅ul
( c)
dΓ=
*
bl
( c)
⋅uil
( f , c)
dΩ+
*
Pl
( c)
⋅uil
Γ
Ω
Γ
Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________
∫
f
∆ ⋅
( f , c)
dΓ
∫
95
f
∆ .
(5.15)
Integrando o termo detentor da função Delta de Dirac obtém-se a seguinte
∫
∫
ui ( f )
*
Pil
( f , c)
⋅ul
( c)
dΓ
=
*
Pl
( c)
⋅uil
( f , c)
dΓ+
*
uil
( f , c)
⋅bl
Γ
Γ
Ω
+ ( c)
dΩ
∫
(5.16)
A Eq. (5.16) representa a identidade Somigliana, a qual fornece os valores de
deslocamento e tensões em qualquer ponto do domínio dependendo dos valores dos
deslocamentos e forças de superfície, conhecidos sobre o contorno, das forças de corpo
e das soluções fundamentais, BREBBIA & DOMINGUEZ (1992).
Como o MEC pertence a classe das técnicas de contorno torna-se necessário
transformar a Eq. (5.16), válida para todo domínio, em uma equação integral válida
somente para valores de contorno. Para efetuar esse processo é necessário inicialmente
admitir a divisão do domínio e do contorno em duas partes, conforme apresenta a Fig.
(5.1), podendo ambas serem expressas por:
^
−
Ω = Ω −Ω + Ω (5.17)
^
−
ε
ε
Γ = Γ −Γ + Γ (5.18)
As grandezas ε Ω e −
Γ ε referem-se a introdução de um semi-círculo, de raio r ,
estando o ponto de colocação situado em seu centro conforme ilustra a Fig. (5.1). Assim
a identidade Somigliana fica avaliada no contorno se as parcelas desta equação
referentes à ε ε Γ
−
Ω e forem consideradas no limite de r tendendo a zero.
Procedendo dessa maneira a identidade Somigliana passa a ser expressa por:
∫ ∫ ∫
u f = P c ⋅u f c dΓ + u f c ⋅b c dΩ − P f c ⋅u c dΓ
(5.19)
* * *
i ( ) lim l ( ) il ( , ) lim il ( , ) l ( ) lim il ( , ) l ( )
ε →0 ε →0 ε →0
− − −
Γ−Γ+Γ ε Ω−Ω+Ω ε Γ−Γ+Γ ε