Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

Modo III:
τ
τ
xy
yz
=
=
− K III ⎛θ
⎞
⋅ sen⎜
⎟
2⋅π
⋅ r ⎝ 2 ⎠
− K III ⎛θ
⎞
⋅cos⎜
⎟
2⋅
π ⋅r
⎝ 2 ⎠
Onde as variáveis r e θ foram já discutidas na apresentação da Eq. (3.7).
3.5 – A Integral J
Capítulo 3 – Mecânica da Fratura e Contato______________________________________
36
(3.12)
A integral J trata de uma forma alternativa o balanço de energia proposto na Eq.
(3.1). Esta integral é válida desde que o material seja elástico, não necessariamente
linear. A integral J pode ser avaliada por meio de uma integral de linha que independe
do caminho escolhido para a integração, conforme RICE (1968). Dessa forma para um
contorno geral a integral J é dada por:
∂u
∫ ∫ (3.13)
i
J = WE ⋅ dy − Pi ⋅ ⋅ds
∂x
Γ Γ
em que: W E densidade de energia de deformação dada por WE
= ∫σ ij ⋅ dε
ij
forças de superfície.
ε
ij
0
e P i são as
A integral J pode ser obtida também por meio da minimização da energia
potencial total para um aumento no comprimento da fissura.
sendo: Π energia potencial total.
J
− dΠ
da
Para materiais elástico-lineares sabe-se que:
G
= (3.14)
− dΠ
da
= (3.15)
E assim a integral J pode ser relacionada ao fator de intensidade de tensões por:
J
K
G =
E
2
= (3.16)
A Eq. (3.16) representa a expressão para problemas plano de tensão. Para os
problemas de estado plano de deformação essa relação pode ser reescrita como:
2
K
2
J = G = ⋅(
1−υ )
(3.17)
E