Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

espeitada com o ponto fonte internamente ao elemento como nos elementos
descontínuos.
Dessa forma a equação integral para a representação das tensões somente com
pontos sob o contorno pode ser escrita como:
1 σ (5.65)
∫
⋅ ij ( f ) + Skij
( f , c)
⋅u
k ( c)
dΓ
= Dkij
( f , c)
⋅ Pk
( c)
dΓ
2
Γ
Para a obtenção da equação integral para a representação das forças de
superfícies deve ser utilizada a Eq. (I.3) a qual relaciona tensões e forças de superfícies
por meio do equilíbrio. Efetuando este equilíbrio obtém-se:
1
⋅ Pi ( f ) + η j ⋅ Skij ( f , c) ⋅uk ( c) dΓ = η j ⋅ Dkij ( f , c) ⋅ Pk ( c) dΓ
2
Γ Γ
Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________
∫
Γ
109
∫ ∫ (5.66)
As equações integrais apresentadas nas Eq. (5.66) e Eq. (5.27) devem ser
empregadas conjuntamente na discretização das faces da fissura no modelo dual.
Neste trabalho o processo de integração das equações integrais escritas em
termos de deslocamentos é efetuado de forma numérica por meio da quadratura de
Gauss. Com o objetivo de tornar o cálculo mais preciso é empregado o procedimento de
sub-elementação o qual pode ser consultado com detalhes no Anexo C. Já para as
equações integrais em termos de forças de superfície o processo de integração é
efetuado de forma analítica. Para tanto foram consultados os trabalhos de WUTZOW
(2003) e FOLTRAN (1999) os quais determinaram as expressões analíticas para tal
problema empregando o elemento de contorno linear. Estas expressões são apresentadas
nos Anexo A e Anexo B.
5.9 – Aproximações sobre o Contorno
De forma análoga ao já descrito no capítulo anterior, para a equação integral em
deslocamentos, no emprego do MEC deve-se efetuar a discretização da equação integral
em forças de superfície, Eq. (5.66). Dessa forma:
sendo:[ I ] matriz identidade.
NE 1
⎛ ⎞ NE ⎛ ⎞
p
⋅ [ I ]{ P} + η ⋅∑ ⎜ [ S]{ u} dΓ ⎟ j = η ⋅ ⎜ [ D]{ P} dΓ
⎟ j
2
j= 1 ⎜ ⎟ ∑
Γ j=
1 ⎜ ⎟
⎝ j ⎠ ⎝ Γ j
⎠
∫ ∫ (5.67)
A partir da Eq. (5.67) é possível a obtenção de matrizes de influência as quais
podem ser representadas de forma concisa como: