Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

ponto no domínio muito próximo ao contorno e em seguida fazer a distância entre eles
tender a zero conforme ilustra a Fig. (5.1).
Efetuando esse procedimento tem-se:
∫
σ (
( c)
dΓ
ij
f ) + lim Skij
( f , c)
⋅u
k ( c)
dΓ=
lim Dkij
( f , c)
⋅ Pk
ε →0
ε →0
−
−
Γ−Γ
+ Γε
Γ−Γ
+ Γε
Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________
∫
106
(5.53)
Por facilidade cada termo da Eq. (5.53) será analisado isoladamente. Tomando
primeiramente o termo Dkij pode-se perceber que este apresenta uma singularidade do
tipo forte representada pelo fator 1 r . Para a execução do limite proposto na Eq. (5.53)
pode-se inicialmente reescrever o termo considerado da seguinte forma:
∫ ∫ ∫
lim D ( f , c) ⋅ P ( c) dΓ = lim D ( f , c) ⋅ P ( c) dΓ + lim D ( f , c) ⋅ P ( c) dΓ
kij k kij k kij k
ε →0 ε →0 ε →0 − −
Γ
Γ−Γ+Γ ε
ε
Γ−Γ
∫ ∫ (5.54)
+ lim D ( f , c) ⋅ P ( f ) dΓ −lim D ( f , c) ⋅ P ( f ) dΓ
kij k kij k
ε →0 ε →0
Γε Γε
A análise pode ser melhor conduzida agrupando-se os termos comuns da relação
anterior. Assim:
∫
∫
[ P ( c)
− P ( f ) ]
lim Dkij ( f , c)
⋅ Pk
( c)
dΓ
= lim Dkij
( f , c)
⋅ k k
ε →0
ε →0
−
Γ
Γ−Γ
+ Γ
ε
ε
+ P ( f ) lim D ( f , c) dΓ + lim D ( f , c) ⋅ P ( c) dΓ
k kij kij k
ε →0 ε →0
Γ
−
ε
Γ−Γ
dΓ
∫ ∫ (5.55)
Para o prosseguimento da análise deve-se assumir a existência da continuidade
de Hölder, apresentada na Eq. (5.56), para os termos representantes das forças de
superfície aplicadas no contorno como se segue:
P P B r ϑ
− ≤ ⋅ (5.56)
j j
( c) ( f ) ( f , c)
Admitindo a existência da continuidade de Hölder verifica-se que o primeiro
termo do segundo membro da Eq. (5.55) é nulo. O segundo termo do lado direito da Eq.
(5.55) é integrável e resulta um fator independente após a realização da operação de
limite. Essa operação resulta o termo:
Pk ( f ) lim Dkij
( f , c)
dΓ
= Akij
( f , c)
⋅ Pk
( f )
⋅
ε →0
∫
Γε
(5.57)
O termo Akij é um fator que depende das propriedades elásticas do material e do
sistema de coordenadas adotado.