Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

p n
k k k
Ndn Nic ⎡ Ndc Ndc Ndc
⎤
i i j j j j j j j
Y ( U , P) = ∑ A X + ∑ ⎢∑ H dpU dp + ∑ HepU ep + ∑ ( H dn − Hen ) U dn ⎥ − F
i= 1 k = 1 ⎣ j= 1 j= 1 j=
1
⎦
⎧ ⎫
− + + + − +
k = 1 ⎪
⎣ ⎦
⎩ j= 1 j=
1
⎪⎭
k k
Nic Ndc Ndc
⎪ j j k j j j j j ⎪
∑ ⎨∑ ( Gdp Gep ) cs ∑ ⎡( Gdn Gen ) ( Gdp Gep ) Tan( ϕ)
⎤Pdn
⎬ (6.58)
Assim os termos do operador tangente ficam dados por:
Ndn
⎡ ∂Y ⎤ ⎡ i ⎤
⎢
A
X ⎥
= ⎢ ⎥
⎣∂ ⎦ ⎣ i=
1 ⎦
k
⎡ Nic Ndc
∂Y
⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤
j
⎢ H
j ⎥ = ⎢ ⎢ dp ⎥ ⎥
⎢⎣ ∂U
dp ⎥⎦ ⎢⎣ k= 1 ⎣ j=
1 ⎦k
⎥⎦
Capítulo 6 – Formulações Não Lineares do MEC para a Análise de Problemas de Fratura e Contato
k
k
151
∑ (6.59)
∑ ∑ (6.60)
k
⎡ Nic Ndc
∂Y
⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤
j
⎢ H
j ⎥ = ⎢ ⎢ ep ⎥ ⎥
⎢⎣ ∂U
ep ⎥⎦ ⎢⎣ k= 1 ⎣ j=
1 ⎦k
⎥⎦
⎡ ∂Y
⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤
⎢ j ⎥ = ⎢ − ⎥
⎣∂U dn ⎦ ⎢⎣ k= 1 ⎣ j=
1 ⎦k
⎥⎦
∑ ∑ (6.61)
k
Nic Ndc
j j
∑ ⎢∑ ( Hdn Hen
) ⎥
(6.62)
⎡ ∂Y
⎤ ⎡ ⎡ ∂P
⎤ ⎤
⎢ j ⎥ = − ⎢ + − + ⎥
⎣∂Pdn ⎦ ⎢⎣ k= 1 ⎣ j=
1
∂Pn
⎦k
⎥⎦
k
Nic Ndc
j j j j p
∑ ⎢∑ ( Gdn Gen ) ( Gdp Gep
) ⎥
(6.63)
Para os pontos fontes que pertencem à região de contato com escorregamento
( )
∂P ∂ P = Tan ϕ .
Além do operador tangente, foram consideradas também nesta formulação
diferentes equações do MEC para a discretização do modelo. No modelo de contato
entre faces de fissuras foi empregada a formulação dual do MEC, onde são utilizadas as
equações singular, Eq. (5.27) e hiper singular, Eq. (5.66), conjuntamente na
discretização do contorno das faces da fissura. Nesta formulação considerando
múltiplos domínios há a possibilidade de se discretizar todo o modelo empregando-se
somente equação singular, Eq.(5.27), ou somente a equação hiper-singular, Eq.(5.66),
além é claro de uma discretização empregando-se as duas equações, modelo dual. Isso é
possível pelo fato de cada sub-domínio ser integrado separadamente, sendo somente
após aplicadas as condições de equilíbrio e compatibilidade. Dessa forma, nesta
formulação é possível a utilização somente da equação singular na discretização de todo
o modelo. Essa equação, pelo fato de ter um grau de singularidade menor quando
comparada à equação hiper singular, tende a ser mais estável fornecendo assim
melhores resultados.
Depois de apresentadas as equações serão mostradas aplicações validando a
formulação proposta. Primeiramente serão mostradas aplicações considerando-se a