Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

permite a análise de fibras que formem uma configuração de treliça no interior do
domínio. A consideração desse tipo de configuração nos enrijecedores é de grande
importância, pois permite a análise de estruturas mais complexas e ao mesmo tempo
contribui para as formulações do MEC uma vez que acoplamentos MEC-MEF que
consideram esse tipo de interação entre enrijecedores não é comum na literatura. Para
tanto as Eq.(7.3), Eq. (7.11), Eq. (7.13), Eq. (7.16) e Eq. (7.19) devem ser reescritas.
Para a Eq. (7.3) a matriz de rigidez deve ser expandida de forma a contemplar
também os deslocamentos na direção normal ao corpo da fibra. O mesmo aplica-se a
“lumping matrix” a qual deve também abranger as forças normais ao elemento de fibra.
Assim a matriz de rigidez pode ser reescrita como:
⎡ 2 2 2 2
3,7 ⋅C 3,7 ⋅C ⋅ S −4,725 ⋅C −4,725 ⋅C ⋅ S 1,35 ⋅C 1,35 ⋅C ⋅ S −0,325 ⋅C
−0,325 ⋅C ⋅ S ⎤
⎢
3,7 ⋅C ⋅ S 2 4,725 2 1,35 2 0,325
2
3,7 S − ⋅C ⋅ S 4,725 S ⋅C ⋅ S 1,35 S − ⋅C ⋅ S
⎥
⎢ ⋅ − ⋅ ⋅ −0,325 ⋅ S ⎥
⎢ 2 4,725 2 10,8 2 7, 425 2
−4,725 ⋅C − ⋅C ⋅ S 10,8 ⋅C ⋅C ⋅ S −7, 425⋅ C − ⋅C ⋅ S 1,35 ⋅C
1,35 ⋅C ⋅ S ⎥
⎢ ⎥
2 2 2 2
E ⋅ S ⎢−4,725 ⋅C ⋅ S −4,725 ⋅ S 10,8 ⋅C ⋅ S 10,8 ⋅ S −7, 425⋅ C ⋅ S −7, 425⋅ S 1,35 ⋅C ⋅ S 1,35 ⋅ S ⎥
L ⎢ 2 1,35 2 7, 425 2 10,8 2
1,35 ⋅C ⋅C ⋅ S −7, 425⋅ C − ⋅C ⋅ S 10,8 ⋅C ⋅C ⋅ S −4,725 ⋅C
−4,725 ⋅C ⋅ S ⎥
⎢ ⎥
1,35 ⋅C ⋅ S 2 7, 425 2 10,8 2
1,35 ⋅ S − ⋅C ⋅ S −7, 425⋅ S ⋅C ⋅ S 10,8 ⋅ S −4,725 ⋅C ⋅ S
2
⎢ −4,725
⋅ S ⎥
⎢ 2 0,325 2 1,35 2 4,725 2
0,325 C − ⋅C ⋅ S 1,35 C ⋅C ⋅ S 4,725 C − ⋅C ⋅ S 3,7 C 3,7 ⋅C ⋅ S ⎥
⎢ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
⎥
⎢ 0,325 C S 2 1,35 2 4,725 2 3,7
2
⎣
− ⋅ ⋅ −0,325 ⋅ S ⋅C ⋅ S 1,35 ⋅ S − ⋅C ⋅ S −4,725 ⋅ S ⋅C ⋅ S 3,7 ⋅C
⎥
⎦
Capítulo 7 – Acoplamento entre Método dos Elementos de Contorno e Método dos Elementos Finitos
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(7.21)
em que: C é o cosseno do ângulo de inclinação do elemento finito e S o seno do ângulo
de inclinação do elemento finito.
Enquanto a “lumping matrix” expandida pode ser reescrita como:
⎡13 0 1 0 ⎤
⎢ 120
60 ⎥
⎢ 0 13 0 1 ⎥
⎢ 120
60 ⎥
⎢ 3 0 3 0 ⎥
⎢ 10 40 ⎥
⎢
0 3 0 3
⎥
⎢ 10 40 ⎥
L ⎢ ⎥
⎢ 3 0 3 0
40 10
⎥
⎢ ⎥
⎢ 0 3 0 3 ⎥
⎢ 40 10 ⎥
⎢ 1 0 13 0 ⎥
⎢ 60 120 ⎥
⎢ 0 1 0 13 ⎥
⎣ 60 120⎦
(7.22)
A equação dos deslocamentos nos pontos internos, determinada pelo MEC, deve
também conter os deslocamentos no plano da estrutura. Assim a Eq. (7.13) deve ser
reescrita como:
∫ ∫ ∫ (7.23)
D * * E *
= i ( ) = j ( ) ⋅ ij ( , ) Γ − j ( ) ⋅ ij ( , ) Γ + ( ) ⋅ ij ( , ) ΩE
u u f P c u f c d u c P f c d f c u f c d
Γ Γ ΩE