Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

5.5 – Construção do Sistema de Equações
As integrais apresentadas na Eq. (5.35) relacionam deslocamentos do ponto de
colocação considerado às forças de superfície e deslocamentos nodais dos demais
elementos presentes na malha construída. Dessa forma as matrizes resultantes do
processo de integração contém a influência de todos os elementos presentes na malha
sendo por isso muitas vezes denominadas de matrizes de influência. A Eq. (5.35) pode
ser reescrita de uma forma mais compacta admitindo-se variáveis auxiliares.
⎡
⎢
H
⎣
^
⎡
⎢G
⎣
INF
INF
⎤
⎥
⎦
⎤
⎥
⎦
pj
pj
=
=
∫
Γj
∫
Γ
* [ P ][ Φ]
dΓj
* [ u ][ Φ]
dΓj
Admitindo-se ainda a seguinte simplificação:
⎡
⎢H
⎣
INF
⎧
⎪
⎤ ⎪
⎥ = ⎨
⎦ ⎪ ⎡
⎪
⎩
⎢
H
⎣
^
INF
⎤
⎥
⎦
j
⎡
⎢
H
⎣
pj
[ c][
φ]
se j ⊂ p
Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________
^
INF
+
⎤
⎥
⎦
pj
p
se j ⊄ p
Pode-se reescrever a Eq. (5.35) de forma mais compacta como:
NE
∑
j=
1
NE
=
pj j
pj
[ H ] { u}
[ G ] { P}
INF
n
∑
j=
1
INF
j
n
101
(5.36)
(5.37)
(5.39)
Nos problemas elásticos planos sabe-se que o número de graus de liberdade por
nó é quatro, sendo dois deslocamentos e duas forças de superfície. No entanto a metade
destes parâmetros é conhecida diretamente por meio da aplicação das condições de
contorno do problema. Dessa forma o problema passa a ser resolvido se for escrito um
número de equações igual a duas vezes o número de nós da malha. Escrevendo as
equações para todos os pontos de colocação do modelo tem-se um sistema resultante da
ordem de duas vezes o número de nós da malha e que pode ser representado de forma
geral como:
[ ]{ u}
[ G]{
P}
H = (5.40)
A resolução do sistema matricial apresentado na Eq. (5.40) somente é possível
aplicando-se as condições de contorno do problema. Para introduzir as condições de
contorno no sistema as matrizes[ ] e[
G]
(5.38)
H devem ser manipuladas de tal forma que todas