Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

por objetivo tornar a análise mais eficiente, reduzindo o número de iterações necessárias
para a obtenção do ponto de equilíbrio em cada incremento de carga. Esse procedimento
foi já empregado com sucesso nos trabalhos de FUDOLI (1999), BOTTA (2003) e
LEITE (2007), embora nesses trabalhos os modelos não lineares tratados não fossem de
fratura.
Inicialmente pode-se escrever a equação geral do MEC, conforme discutido no
capítulo 5, da seguinte maneira:
Capítulo 6 – Formulações Não Lineares do MEC para a Análise de Problemas de Fratura e Contato
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HU = GP
(6.4)
As matrizes e vetores descritos na Eq. (6.4) podem ser divididos segundo sua
localização no modelo. Os pontos fontes podem estar sobre o contorno, c, ou sobre as
faces de fissuras, f. Assim:
H U + H U = G P + G P
cc c cf f cc c cf f
H U + H U = G P + G P
fc c ff f fc c ff f
A fissura apresenta duas faces, uma delas localizada a direita e a outra a
esquerda de sua linha geométrica média. Na Eq. (6.5) os pontos fontes localizados sobre
a fissura podem ser separados em pontos fontes pertencentes à face esquerda e à face
direita. Assim:
H U + H U + H U = G P + G P + G P
d d e e d d e e
cc c cc c
cf f cf f cf f cf f
H U + H U + H U = G P + G P + G P
d d e e d d e e
fc c fc c
ff f ff f ff f ff f
Onde os índices d e e distinguem os pontos fontes localizados nas faces direita e
esquerda da fissura respectivamente.
O sistema de equações apresentado na Eq. (6.6) pode ser resolvido para as
grandezas conhecidas no contorno. Dessa forma:
A X + H U + H U = F + G P + G P
cc
d d e e d d e e
cf f cf f cf f cf f
A X + H U + H U = F + G P + G P
fc
d d e e d d e e
1
ff f ff f ff f ff f
As matrizes Acc , A fc resultam da troca de colunas entre as matrizes
Hcc eGcc , H fc eG fc respectivamente. Os vetores F e F 1 são obtidos a partir das
grandezas conhecidas no contorno. Na Eq. (6.7), os deslocamentos e forças de
superfície obtidos nos pontos fontes são referenciados ao sistema cartesiano ortogonal
xy. No entanto pretende-se que essas grandezas sejam descritas segundo as direções
paralela e normal aos elementos de contorno aos quais pertencem. Dessa forma as
grandezas citadas devem ser multiplicadas pela matriz de rotação mostrada na Eq. (6.8).
(6.5)
(6.6)
(6.7)