Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

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formulações utilizadas levam a resultados que concordam com o resultado experimental validando, portanto, o código computacional e o algoritmo proposto. Figura 6.3 Diagrama Carga x Deslocamento para a estrutura analisada. Na Fig. (6.4) é apresentada a evolução da propagação do entalhe central até o último ponto de aplicação de carregamento. Pode-se observar que o a estrutura fica muito próxima ao colapso, no entanto não ocorre a separação do corpo em duas partes. Figura 6.4 Propagação da fissura. Entalhe inicial e configuração final. Na Fig. (6.5) é mostrado um comparativo com o número de iterações necessárias por intervalo de passos de carga para a obtenção do equilíbrio. Essa figura ilustra a eficiência da formulação proposta via operador tangente consistente, uma vez que essa formulação permite a resolução do problema não linear empregando um número menor de iterações, quando comparada à formulação com operador constante. Como mostra a Fig. (6.5), mesmo durante a fase de amolecimento, a partir do passo de carga 5, a formulação via operador tangente consistente consegue obter o equilíbrio com poucas Capítulo 6 – Formulações Não Lineares do MEC para a Análise de Problemas de Fratura e Contato 123
iterações. Esta figura mostra também que a formulação proposta via operador tangente necessita de um número de iterações aproximadamente 10 vezes menor quando comparado a formulação via operador constante. Isso mostra que a formulação proposta além de fornecer bons resultados é mais eficiente, sendo a solução obtida mais rapidamente. Número de Iterações 500 400 300 200 100 0 29 33 33 9 9 187 360 294 499 337 385 298 253246 24 31 31 33 24 27 1 - 6 7 - 12 13 - 18 19 - 24 Intervalo de Passos de Carga Linear Bi-Linear Exponencial Linear OT Bi-Linear OT Figura 6.5 Comparativo do número de iterações por passo de carga. Número de iterações proporcionais. 6.1.7 – Exemplo 2: Viga Analisada em GALVEZ et. al (1998) A estrutura considerada neste exemplo refere-se a viga de concreto solicitada a flexão e apresentada na Fig. (6.6). Trata-se de uma viga de 67,5 cm de comprimento e 15 cm de altura com um entalhe inicial posicionado em sua face inferior de profundidade igual a 7,5 cm. O resultado experimental dessa estrutura é apresentado em GALVEZ et al. (1998) sendo seguintes as propriedades do material: resistência a tração do concreto, f = 3,0 MPa ; módulo de elasticidade longitudinal, E = 37000 MPa ; t Exponencial 30% coeficiente de Poisson de υ = 0,20 ; e energia de fratura G = 69 N / m . Nesse exemplo as leis coesivas linear, bi-linear e exponencial foram empregadas para governar o comportamento das forças de superfícies normais durante o processo de crescimento da fissura. Foram considerados ainda 24 passos de carga para a aplicação do carregamento sendo que a tolerância para a convergência de cada passo é igual a 5 1 10 − ⋅ , baseado na norma de forças. Na análise desse exemplo foram utilizadas as formulações com operadores tangente e constante. Assim como no exemplo anterior, o termo “OT” indicam as curvas onde foi empregada a formulação com Operador Tangente sendo que nas demais curvas foi utilizado operador constante. Capítulo 6 – Formulações Não Lineares do MEC para a Análise de Problemas de Fratura e Contato f Bi-Linear OT 3% Linear OT 3% Bi-Linear 31% Linear 33% Linear Bi-Linear Exponencial Linear OT Bi-Linear OT 124
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA D
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Dedico esse trabalho carinhosamente
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Resumo LEONEL, E.D. Modelos Não Li
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Além de alguns dos trabalhos já c
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compostas por 50, 100 e 200 element
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pode ser entendido como uma concent
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A figura acima mostra também a efi
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finitos. Inicialmente será apresen
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Limite Elástico Inicial Deformaç
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plástica, plástico. Substituindo
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. . p p Capítulo 7 - Acoplamento e
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sendo ( σ ) . sign − q ⋅ E .
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Deslocamento Contorno X (m) 0,060 0
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Figura 7.64 Crescimento da fissura.
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8. - Modelo de Fadiga para Metais e
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Vale ressaltar que o procedimento d
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k 90,0 80,0 70,0 60,0 50,0 40,0 30,
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Comprimento da Fissura 5,5 5 4,5 4
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finalmente o parâmetro C da lei de
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Carregamento Atuante (Kip) Distânc
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Esse conjunto de métodos foi popul
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12. - Referências Bibliográficas
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BAZANT, Z.P; LI, Y. N. (1995). Stab
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BUYUKOZTURK, O; HEARING, B. (1998).
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CRUSE, T. A. (1969). Numerical solu
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FERRO, N.C.P.; VENTURINI, W.S. (199
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HERTZ,H. (1882). On the contact of
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KRAJCINOVIC, D; MASTILOVIC,S. (2001
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MACIEL, D.N. (2003), Determinação
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MODEER,M. (1979). A Fracture Mechan
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PARIS, F; CAÑAS, J. (1997). Bounda
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RIBEIRO, G. O. (1992). Sobre a form
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SOARES, R.C. (2001). Um estudo sobr
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VIRKLER, D.A; HILLBERRY, B.M; GOEL,
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Anexo A. - Integrais Singulares De
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Matriz H H = C 1 12 1 H = −C ⋅(
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{ ( ) 1 C6 3 S22 = ⋅ ⎡( C4 + 2
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Matriz D ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 2
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