Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

k + 1 k
λ = v .
k ( )
( )
t
k k
W A p f x
k k 1
k
A 0 λ h x
+
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎡−∇ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ − ⎥
⎣ ⎦
Pela não singularidade dos coeficientes da matriz tem-se que
Capítulo 10 – Acoplamento entre Modelo Mecano-Fiabilístico e um Algoritmo de Otimização_____
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(10.17)
k
p = p e
Como conclusão, o sistema KKT mostrado na Eq. (10.7) para o problema PE é
equivalente às condições de otimalidade para o problema SQ.
A interpretação em termos do método de Newton facilita a análise de
convergência enquanto que a estrutura da Programação Quadrática Seqüencial permite
desenvolver algoritmos práticos para resolver problemas como SQ.
A estrutura do SQP para problemas não lineares com restrição de igualdade é
facilmente estendida para os problemas com restrições de desigualdade do tipo:
k
A p g x
( ) 0
A cada passo deve-se resolver o problema quadrático:
( SQI)
minimizar
+ ≤ (10.18)
1 t k t k
p W p + ∇ f p
2
( )
k
sujeito a A p + g x ≤ 0
(10.19)
O problema pode ser resolvido semelhantemente à maneira descrita para o
problema com igualdade. A modificação existente relaciona-se ao fato de que no passo
k
k 1
p e a nova estimativa do multiplicador λ + são definidos através da solução e dos
multiplicadores de Lagrange correspondentes ao problema SQI.
10.1.3 – Algoritmo do Método SQP
Considere que deseja-se resolver o seguinte problema de otimização:
minimizar
( )
( )
f x
sujeito a g x ≤ 0 j = 1,..., n
j g
(10.20)
Assumindo-se que na i ésima iteração o processo iterativo encontra-se sobre um
dado ponto x i , deve-se determinar inicialmente a direção de descida (subida) da função
objetivo para a determinação do extremo desejado. Esta direção, s, é obtida a partir da
resolução do seguinte problema de programação quadrática: