Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

Para o caso de aderência perfeita, sem escorregamento, devem ser obedecidas as
seguintes condições de compatibilidade e equilíbrio.
Capítulo 6 – Formulações Não Lineares do MEC para a Análise de Problemas de Fratura e Contato
150
Ue = − U d e Pe = Pd
(6.51)
A partir do definido na Eq. (6.51) pode-se reescrever a Eq. (6.50) como:
k k
Ndn Nic ⎡ Ndc Ndc
⎤
i i j j j j j j
Y ( U , P) = ∑ A X + ∑ ⎢∑ ( H dp − Hep ) Udp + ∑ ( H dn − Hen ) U dn ⎥ − F
i= 1 k = 1 ⎣ j= 1 j=
1
⎦
−
⎡
+ + +
⎤
k = 1 ⎣ j= 1 j=
1
⎦
k k
Nic Ndc Ndc
j j j j j j
∑ ⎢∑ ( Gdp Gep ) Pdp ∑ ( Gdn Gen ) Pdn
⎥
(6.52)
Dessa forma, os termos da matriz tangente para o caso de contato sem
escorregamento ficam dados por:
Ndn
⎡ ∂Y ⎤ ⎡ i ⎤
⎢
A
X ⎥
= ⎢ ⎥
⎣∂ ⎦ ⎣ i=
1 ⎦
∑ (6.53)
⎡ ∂Y
⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤
⎢ j ⎥ = ⎢ ⎢ − ⎥ ⎥
⎢⎣ ∂U
dp ⎥⎦ ⎢⎣ k= 1 ⎣ j=
1 ⎦k
⎥⎦
k
Nic Ndc
j j
∑ ∑ ( Hdp Hep
)
(6.54)
⎡ ∂Y
⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤
⎢ j ⎥ = ⎢ − ⎥
⎣∂U dn ⎦ ⎢⎣ k= 1 ⎣ j=
1 ⎦k
⎥⎦
k
Nic Ndc
j j
∑ ⎢∑ ( Hdn Hen
) ⎥
(6.55)
⎡ ∂Y
⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤
⎢ j ⎥ = − ⎢ ⎢ + ⎥ ⎥
⎢⎣ ∂P
dp ⎥⎦ ⎢⎣ k= 1 ⎣ j=
1 ⎦k
⎥⎦
k
Nic Ndc
j j
∑ ∑ ( Gdp Gep
)
(6.56)
⎡ ∂Y
⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎤
⎢ j ⎥ = − ⎢ + ⎥
⎣∂P dn ⎦ ⎢⎣ k= 1 ⎣ j=
1 ⎦k
⎥⎦
k
Nic Ndc
j j
∑ ⎢∑ ( Gdn Gen
) ⎥
(6.57)
Para o caso de contato com escorregamento será utilizada a lei de Coulomb para
governar o comportamento das forças de superfície paralelas à interface de contato. Esta
lei é apresentada pela Eq. (6.40) a qual estabelece uma relação entre as forças de
superfície paralela e normal à região de contato. Assim, nesta região devem ser
determinados os deslocamentos paralelos em cada face da interface de contato, o
deslocamento normal da interface de contato, que será igual para ambas as faces, e as
forças de superfície na direção normal ao contato, as quais também serão iguais para
ambas as faces do contato. Utilizando-se a lei de Coulomb serão obtidos os valores das
forças de superfície na direção paralela à interface de contato.
Para a determinação do operador tangente para o caso do contato com
escorregamento deve-se substituir a lei de Coulomb na Eq. (6.52) além é claro de se
impor as condições de contato. Assim:
k
k