Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

devido a mudanças no estado de deformação. Para corpos elásticos lineares essa energia
pode ser escrita como:
1
Energia Deformação = ∫ ⋅σ ij ⋅ε
ijdV
(3.36)
2
A densidade de energia de deformação, portanto pode ser definida como:
Capítulo 3 – Mecânica da Fratura e Contato______________________________________
V
d d ⎛ 1 ⎞ 1
( Energia Deformação) = ⎜ σ ij εijdV σ ij εij
dV dV ∫ ⋅ ⋅ ⎟ = ⋅ ⋅
(3.37)
⎝ V 2 ⎠ 2
Utilizando a lei de Hooke generalizada mostrada no Anexo I, Eq. (I.5),
juntamente com as equações que relacionam os fatores de intensidade de tensão às
tensões na extremidade da fissura, Eq. (3.10), Eq. (3.11) e Eq. (3.12), é possível obter a
expressão para a determinação da densidade de energia, como mostra a Eq. (3.38).
( )
S θ = a ⋅ K + ⋅ a ⋅ K ⋅ K + a ⋅ K
(3.38)
2
2
11 I 2 12 I II 22 II
Nessa expressão os termos aij são dados por:
11
1
=
16⋅
µ
[ ( 1+
cos(
θ ) ) ⋅(
κ − cos(
θ ) ) ]
a (3.39)
1
a 12 = ⋅sin(
θ ) ⋅[
2⋅
cos(
θ ) − ( κ −1)
]
(3.40)
16⋅
µ
1
a 22 = ⋅[
( κ + 1)
⋅(
1−
cos(
θ ) ) + ( 1+
cos(
θ ) ) ⋅(
3⋅
cos(
θ ) −1)
]
(3.41)
16⋅
µ
O ângulo de propagação é aquele que minimiza o termo S ( θ ) da Eq. (3.38). Por
meio desse critério define-se que a fissura irá propagar na direção em que a densidade
de energia de deformação for mínima. Além disso, a estabilidade para o crescimento das
fissuras é efetuada por meio da seguinte relação:
κ −1
Scr = ⋅ K
8⋅π
⋅ µ
2
IC
42
(3.42)
Nesse critério verifica-se que a fissura irá propagar quando a densidade de
energia de deformação atingir um valor crítico S cr .
3.8 – Mecânica da Fratura Aplicada ao Concreto
Sabe-se que durante o processo de fratura surge, à frente da extremidade da
fissura, uma zona onde ocorrem processos inelásticos sendo esta zona denominada zona
de processos inelásticos. De acordo com o comportamento estrutural do material a zona
de processo apresenta diferentes características. Para materiais dúcteis esta zona