Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

I.2 – Relações Constitutivas
Em elasticidade linear clássica há uma única relação envolvendo tensões e
deformações que é denominada Lei de Hooke generalizada. Por meio dessa lei,
representada por um tensor de quarta ordem, cada componente de tensão é linearmente
relacionada com todas as componentes de deformação do ponto em estudo. Esta relação
é também válida no sentido inverso, ou seja, as componentes de deformação são
linearmente relacionadas às componentes de tensão via tensor inverso das propriedades
constitutivas. A Lei de Hooke generalizada pode ser representada de forma geral como:
onde:
[ σ ] [ D ] [ ε ]
Anexo I – Tópicos da Teoria da Elasticidade______________________________________
c
401
= ⋅ (I.4)
[ Dc ] tensor de quarta ordem contendo as propriedades constitutivas do material.
[ σ ] tensor de segunda ordem das tensões internas ao corpo.
[ ε ] tensor de segunda ordem das deformações do corpo.
Para materiais anisótropos o tensor constitutivo contém 81 termos
independentes os quais são função somente da direção dos eixos de referência.
Contando com a simetria dos tensores de tensão e deformação o número de termos
independentes do tensor constitutivo diminui para 36. Este número pode ser
consideravelmente reduzido admitindo-se comportamento isotrópico para os materiais.
Empregando este artifício é possível descrever o tensor D c somente através do módulo
de elasticidade longitudinal, E, e do coeficiente de Poisson, υ.
A Lei de Hooke generalizada para materiais isotrópicos pode ser escrita de
forma concisa indicialmente conforme apresenta a Eq. (I.5).
sendo:
σ
δ ij delta de Kroenecker.
ε ij deformações do corpo.
υ coeficiente de Poisson.
E ⎡ υ
⋅ ⎢ ⋅δ
ij ⋅ε
1+
υ ⎣(
1−
2 ⋅υ)
E módulo de elasticidade longitudinal.
⎤
+ ε ⎥
⎦
ij = kk ij
De forma inversa as deformações podem ser relacionadas às tensões por:
(I.5)