Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

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7. – Acoplamento entre Método dos Elementos de Contorno e Método dos Elementos Finitos O método dos elementos de contorno (MEC) e o método dos elementos finitos (MEF) são os métodos numéricos com maior utilização em análises de problemas de engenharia na atualidade. Apesar da ampla utilização de ambos os métodos numéricos cada um apresenta maior eficiência na análise de determinados tipos de problemas. O MEF é mais empregado na análise de problemas envolvendo geometrias finitas, elementos de geometria linear, plasticidade, grandes deformações. Já o MEC é mais indicado para a abordagem de problemas que apresentam grandes concentrações das grandezas envolvidas no problema, geometrias infinitas, dentre outros. Nesse contexto surgiu a idéia de acoplar esses dois métodos numéricos de tal maneira que cada um deles seja utilizado na representação de sub-estruturas onde apresenta maior eficiência. Existem duas formas para a execução do acoplamento entre os dois métodos numéricos. Na primeira, o sistema de equações obtido a partir do MEF é transformado em um sistema similar, na forma do proveniente do MEC, e a outra, pelo contrário, converte as equações referentes ao MEC, em um sistema com as características do MEF. A metodologia escolhida nesse trabalho é a primeira uma vez que o objetivo final é o de se obter a contribuição dos enrijecedores nos pontos do contorno. A formulação do acoplamento MEC-MEF a ser apresentada nesse trabalho tem como base a apresentada no trabalho de BOTTA (2003). Esse autor desenvolveu as equações do acoplamento MEC-MEF de forma semelhante ao que será apresentado nesse capítulo. A diferença é que em BOTTA (2003) o processo de regularização é aplicado somente nas equações de deslocamento dos pontos internos, enquanto aqui a regularização pode ser aplicada nas equações de deslocamento dos pontos internos, nas equações fornecidas pelo MEF ou mesmo sobre o conjunto final de equações da formulação. Capítulo 7 – Acoplamento entre Método dos Elementos de Contorno e Método dos Elementos Finitos 165
7.1 – Equações do Elemento Finito de Fibra Neste trabalho, serão consideradas fibras retilíneas, mergulhadas em qualquer direção dentro do domínio bidimensional. As extremidades das fibras podem chegar ao contorno, e valores de força ou deslocamento podem ser prescritos diretamente no elemento da fibra. As fibras serão modeladas com elementos finitos de barra de geometria reta, com dois graus de liberdade de deslocamento, paralelo e normal ao eixo da barra. Para uma força f − , aplicada longitudinalmente, distribuída ao longo da fibra, a equação diferencial de equilíbrio para um ponto x qualquer do domínio da barra é: 2 ( ) d u( x) 1 − + f ( x) = 0 2 dx 2 ⋅G ⋅ S ⋅ (1 + υ) sendo: u( x ) o deslocamento longitudinal do ponto x, G o módulo de elasticidade transversal do material da fibra, υ o coeficiente de Poisson e S é área da seção transversal da fibra. Parece bastante razoável a adoção de polinômios com diferentes graus para as aproximações dos deslocamentos, u( x ) , e das forças, f − , por elemento finito. Para o elemento de barra da fibra, adota-se polinômio cúbico para aproximar os deslocamentos e linear para as forças. Assim, a derivada segunda do deslocamento aproximado tem o mesmo grau polinomial que a força aproximada, conforme a equação diferencial de equilíbrio, Eq. (7.1). Definem-se, por elemento finito, quatro variáveis nodais de deslocamento e duas de força, conforme apresenta a Fig. (7.1). f 1 f = f + f φ 1φ1 2 2 u1 u2 u3 u4 L/3 L/3 L/3 Figura 7.1 Variáveis nodais do elemento finito de fibra. Conforme a Fig. (7.1), os quatro nós com as variáveis de deslocamento estão definidos nas duas extremidades do elemento e nos dois terços de vão. Os nós com as variáveis de força são os dois de extremidade. As equações algébricas de equilíbrio do Capítulo 7 – Acoplamento entre Método dos Elementos de Contorno e Método dos Elementos Finitos f 2 166 (7.1)
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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA D
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Dedico esse trabalho carinhosamente
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variações lineares, quadráticas
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Além de alguns dos trabalhos já c
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Figura 7.64 Crescimento da fissura.
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na Fig. (7.83). As propriedades dos
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Vale ressaltar que o procedimento d
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Fator de Intensidade de Tensão Equ
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finalmente o parâmetro C da lei de
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BOTTA (2003). No entanto, os modelo
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BAZANT, Z.P; LI, Y. N. (1995). Stab
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KRAJCINOVIC, D; MASTILOVIC,S. (2001
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MACIEL, D.N. (2003), Determinação
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MODEER,M. (1979). A Fracture Mechan
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PARIS, F; CAÑAS, J. (1997). Bounda
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RIBEIRO, G. O. (1992). Sobre a form
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SOARES, R.C. (2001). Um estudo sobr
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VIRKLER, D.A; HILLBERRY, B.M; GOEL,
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