Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

φ
2
1+
ξ
2
Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________
100
= (5.31)
Os deslocamentos no interior do elemento de contorno são descritos por meio
das funções de aproximação e dos valores nodais disponíveis, assim:
⎧u
⎫
⎨ ⎬
⎩u2
⎭
⎡φ
⎢
⎣ 0
0
1 ⎧u
⎫ 1
⎪ 1 ⎪
0 ⎤⎪u
⎪
⎥⎨
2 ⎬
φ2
⎦⎪u1
⎪
⎪ 2
u
⎪
⎩ 2 ⎭
{ } [ ]{ } j
1 1
2
2
u = =
= Φ u
φ
1
φ
0
De forma análoga as forças de superfície podem ser expressas por:
Os termos
⎧P
⎫
⎨ ⎬
⎩P2
⎭
⎡φ
⎢
⎣ 0
0
1 ⎧P
⎫ 1
⎪ 1 ⎪
0 ⎤⎪P
⎪
⎥⎨
2 ⎬
φ2
⎦⎪P1
⎪
⎪ 2
P
⎪
⎩ 2 ⎭
{ } [ ]{ } j
1 1
2
2
P = =
= Φ P
l l
k k P e
φ
1
φ
0
n
n
(5.32)
(5.33)
u indicam deslocamentos e forças de superfície atuantes no nó l
segundo a direção k. Já os vetores { } { } j j
P e u representam deslocamentos e forças de
n
superfície nodais presentes nos nós pertencentes ao elemento j atuando segundo a
direção n.
n
A geometria do elemento é aproximada de forma semelhante à apresentada nas
Eq. (5.32) e Eq. (5.33). A interpolação pode ser representada como:
− ⎧ ⎫ ⎧x
⎫ ⎡φ1
⎨x⎬
= ⎨ ⎬ =
y
⎢
⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎣ 0
0
φ
1
φ
2
0
1 ⎧x
⎫
⎪ ⎪
1
0 ⎤⎪
y ⎪
⎥⎨
⎬ =
2 φ2
⎦⎪x
⎪
⎪ 2 ⎪
⎪⎩
y ⎪⎭
[ Φ]
− ⎧ ⎫
⎨x⎬
⎩ ⎭
j
n
(5.34)
Depois de incorporadas as funções de interpolação nas expressões de
deslocamentos e forças de superfície deve-se reescrever a Eq. (5.29) substituindo nessa
expressão as Eq. (5.32) e Eq. (5.33). Assim:
NE
⎛
p p [ ][ ] { } ⎜ * [ ][ ] ⎟ j { } ⎜ *
c Φ u ∑ ∫ = ∑ ∫[
][ Φ]
Γ ⎟
n + P Φ dΓj
u n u d j { P}
⎜
⎟ ⎜ ⎟
j=
1 Γ
j=
1 Γ
⎝
j
⎞
⎠
NE
⎛
⎝
j
⎞
⎠
j
n
(5.35)
Na Eq. (5.35) o termo { } p
u n representa os deslocamentos nodais do elemento
onde encontra-se o ponto fonte.