Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

sendo que Abb e Bbb
⎡A ⎤ e ⎡B ⎤
{ } = { } + { D}
{ } + [ ]{ } = { } + [ ]{ D}
{ } = − { } + { }
⎡H ⎤ U ⎡G ⎤ P ⎡G ⎤ f
⎣ bb ⎦ b ⎣ bb ⎦ b ⎣ bE ⎦
⎡⎣ H Eb ⎤⎦ Ub T U E ⎡⎣ GEb ⎤⎦
Pb GEE f
⎡ E E
K ⎤ U
⎣ ⎦
⎡ E
G ⎤
⎣ ⎦
D
f
E
F
{ } = { } + { D}
{ } + [ ]{ } = { } + [ ]{ D}
{ } = − { } + { }
⎡A ⎤ X ⎡B ⎤ F ⎡G ⎤ f
⎣ bb ⎦ ⎣ bb ⎦ b ⎣ bE ⎦
⇓
⎡⎣ AEb ⎤⎦ X T U E ⎡⎣ BEb ⎤⎦
Fb GEE f
⎡ E E
K ⎤ U
⎣ ⎦
⎡ E
G ⎤
⎣ ⎦
D
f
E
F
Capítulo 7 – Acoplamento entre Método dos Elementos de Contorno e Método dos Elementos Finitos
172
(7.17)
⎡⎣ ⎤⎦ ⎡⎣ ⎤⎦
resultam da troca de colunas entre as matrizes ⎡⎣ Hbb ⎤⎦ e ⎡⎣ Gbb
⎤⎦
. Já
⎣ Eb ⎦ ⎣ Eb ⎦ decorre da troca de colunas entre as matrizes Eb Eb
⎡⎣ H ⎤⎦ e ⎡⎣ G ⎤⎦.
{ Fb } são os
valores prescritos de força de superfície e deslocamentos no contorno, enquanto { X} são
as grandezas incógnitas no contorno.
Resta ainda uma última equação a ser apresentada a qual refere-se à
determinação das tensões nos pontos internos ao contorno. Nesse caso, a exemplo da
identidade Somigliana, as forças de domínio são levadas em conta através da integral:
D
∫ bj ( c) ⋅ Dijk ( f , c) dΩ = ∫ f j ( c) ⋅ Dijk ( f , c) dΩ
E
(7.18)
Ω ΩE
onde o termo D ijk foi apresentado no capítulo 5.
E a exemplo da Eq. (7.11) tem-se:
ND NEF ND NEF
D *
D
∑ ∑ ∫ f ( c) ⋅ Dijk ( f , c) ⋅ηk dΩ E = ( ( c) D ( , ) ) ( )
k ∑ ∑ ∫ ϕ ⋅ ijk f c ⋅ηk ⋅ fn c dΩ
E (7.19)
k
fb= 1 k = 1 Ω fb= 1 k = 1
E Ω
k Ek
Assim a equação para a determinação das tensões internas pode ser
matricialmente expressa como:
⎡ − ⎤ ⎡ − ⎤ ⎡ − ⎤
⎢H Ib ⎥ Ub ⎢GIb ⎥ Pb ⎢GIE ⎥ f
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
D
{ } + { σ}
= { } + { }
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
− −
onde o sub-índice I indica ponto interno. As matrizes H Ib e GIb
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
no capítulo 5 e a IE G−
é obtida como resultado da solução da Eq. (7.19).
(7.20)
foram apresentadas
A formulação pode ser estendida para o caso em que os elementos finitos de
fibra possuem dois graus de liberdade (x e y) e não apenas um grau de liberdade,
paralelo ao comprimento da fibra. Esse procedimento foi efetuado neste trabalho e