Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

egião do contato, uma vez que esta deve ser introduzida na formulação. Neste trabalho
é utilizado o critério de Coulomb o qual pode ser expresso pela seguinte equação:
f f
Capítulo 6 – Formulações Não Lineares do MEC para a Análise de Problemas de Fratura e Contato
( )
p n
P cs P Tan ϕ
141
≤ − ⋅ (6.40)
Na Eq. (6.40) cs representa a coesão entre os materiais do contato e ϕ é o
ângulo de atrito. Assim as forças de superfície paralelas às faces da fissura dependem da
coesão, do ângulo de atrito e também da força de superfície normal às faces da fissura.
Deve-se destacar que, na região do contato, quando o primeiro membro da Eq. (6.40) é
menor que o segundo observa-se a situação de contato perfeito, ou seja, não ocorre
escorregamento. Nesse caso empregam-se as Eq. (6.35) a Eq. (6.39) para a
determinação das forças de superfície e deslocamentos no contorno. Já quando se tem a
situação de igualdade da Eq. (6.40) observa-se o escorregamento das superfícies em
contato.
Nessa condição de contato as grandezas que sofrem variação na análise são
dp dn n
X , U , U , ∆ U , P . Por definição ∆ U deve ser igual a zero e p
P é determinado a partir
f f s f
da lei de Coulomb. Assim o operador tangente consistente para o contato com
escorregamento fica assim definido:
p n
f f
∂Y
⎡ A ⎤
⎡ ⎤ cc
⎢
= ⎢
X A
⎥
∂ ⎥
fc
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
dp ep ( Hcf − Hcf
)
( − )
⎡ ⎡ ⎤
∂Y
⎤
⎢ dp ⎥ = ⎢ ⎥
U dp ep
⎢⎣ ∂ f ⎥⎦
⎢ H ff H ⎥
⎣ ff ⎦
dn en ( Hcf − Hcf
)
( − )
⎡ ⎡ ⎤
∂Y
⎤
⎢ dn ⎥ = ⎢ ⎥
U dn en
⎢⎣ ∂ f ⎥⎦
⎢ H ff H ⎥
⎣ ff ⎦
ep
⎡ ∂Y
⎤ ⎡H ⎤ cf
⎢ ⎥ = ⎢ ep ⎥
⎣∂∆U s ⎦ ⎢⎣ H ff ⎥⎦
p
⎡ ∂P
⎤
dn en dp ep f
⎢− ( Gcf + Gcf ) − ( Gcf + Gcf
) ⋅ n ⎥
⎡ ∂Y ⎤ ⎢ ∂Pf
⎥
⎢ n ⎥ =
p
P ⎢
f P
⎥
⎢⎣ ∂ ⎥⎦
⎢
∂
dn en dp ep f
− ( G ff + G ff ) − ( G ff + G ff ) ⋅ ⎥
n
⎢ P ⎥
⎣ ∂ f ⎦
f
(6.41)
(6.42)
(6.43)
(6.44)
(6.45)
Para os pontos fontes que pertencem à região de contato com escorregamento
( )
∂P ∂ P = Tan ϕ . Deve-se destacar que no caso da análise de problemas de contato com
escorregamento mas sem atrito, deve-se apenas definir que a coesão e o ângulo de atrito
do problema sejam iguais a zero.