Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

explicado com detalhes no Anexo H onde são mostradas as equações do método e
também seu algoritmo.
Para uma discussão mais aprofundada deste método e também de outros
métodos de programação não linear sugere-se consultar as seguintes referências
BONNANS et al. (2002), NOCEDAL & WRIGHT (1999), HAFTKA & KAMAT
(1985) e VANDERPLAATS (2001).
10.1.1 – Equações do Método SQP
Neste item serão apresentadas as equações utilizadas pelo SQP e também a
filosofia deste método. Inicialmente, observa-se que problemas que contém unicamente
restrições de igualdade não são muito comuns na prática da engenharia, porém a
discussão inicial a ser apresentada aqui será restringida a este caso. Assim será tratado o
seguinte problema o qual deseja-se resolver:
minimizar f ( x)
( ) ( )
PE sujeito a h x = 0 i = 1... m
x∈ℝ
Capítulo 10 – Acoplamento entre Modelo Mecano-Fiabilístico e um Algoritmo de Otimização_____
n
i
302
(10.1)
n
n m
Sendo f : ℝ → ℝ e h: ℝ → ℝ funções continuamente diferenciáveis e h um
vetor de m funções hi. A função Lagrangeano para esse problema é dada por:
( , λ) ( ) λ ( )
L x f x h x
m
= +∑ (10.2)
i=
1
A idéia principal do SQP para o problema PE é a partir de x k , fazer uma
aproximação que gera um subproblema quadrático e, após resolver esse subproblema,
definir o novo ponto x k + 1.
Uma das maneiras de se achar a solução ótima desse
subproblema é encontrar o ponto KKT. Essa busca é feita através da resolução do
sistema com n + m variáveis x e λ e n + m equações.
m ⎡ ⎤
∇ f ( x) + λi∇hi
( x)
F ( x, λ ) =
⎢ ⎥
i=
1 ⎢ ⎥
= 0, i = 1,..., m
⎢⎣ hi ( x)
⎥⎦
i i
∑ (10.3)
Será usado k
A para denotar a matriz jacobiana das restrições h no ponto x k , isto é:
( ) , ( ) ,..., m ( )
t
k k k k
A = ⎡∇h1 x ∇h2 x ∇h
x ⎤
⎣ ⎦ (10.4)