Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

elemento da Fig. (7.1) são obtidas utilizando-se o princípio dos trabalhos virtuais,
expresso pela equação:
NF
⎛ ⎞
⎜ ⎡ E E E E i Ei
σ ( u ) δε ( δ u ) ⎤ d E ( f δ u ) d E F δ u ⎟
∑ ∫ ⋅ Ω − ∫ ⋅ Ω − ⋅ = 0
(7.2)
⎜ ⎣ ⎦
⎟
⎝ ⎠
Ω E = 1 ΩE ΩE
E
E
onde: σ ( u ) é a tensão normal na fibra, ( u )
Capítulo 7 – Acoplamento entre Método dos Elementos de Contorno e Método dos Elementos Finitos
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ε é a deformação longitudinal na fibra, E
u
E
i
é o deslocamento nodal, f a força nodal, F a força concentrada no nó i, Ω E o
domínio do elemento finito, δ as variações das grandezas compatíveis com os vínculos
e NF o número total de fibras da malha.
Da Eq. (7.2) resulta o sistema de equações do elemento finito.
{ } = { } + { }
⎡K ⎤ u ⎡G ⎤ f F
⎣ ⎦ ⎣ ⎦
E E E E E
em que: E
K é a matriz de rigidez do elemento finito, E
G lumping matrix, E
u o vetor
com os deslocamentos nodais, E
f o vetor com as forças de superfície e E
F o vetor com
as forças concentradas nos nós.
A matriz E
G , função das características geométricas do elemento, é dada pelo
produto das funções polinomiais linear e cúbica da segunda integral da Eq. (7.2). Para
os nós posicionados da forma como apresentado na Fig. (7.1) o sistema matricial da Eq.
(7.3) pode ser explicitado. Assim:
13 1
E ⎡ ⎤
1 120 60
E
⎡ 3.7 −4.725 1.35 −0.325⎤
⎧u ⎫ ⎢ ⎥ ⎧F
⎫
1
⎪ ⎪
⎢ 3 3
4.725 10.8 7.425 1.35
⎥ E ⎢ ⎥ ⎪ ⎪
E E
E ⋅ S
u2 10 40 ⎧ f ⎫
⎢
− −
⎥
⎪ ⎪
1 F2
L
⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⋅ ⎨ ⎬ =
L 1.35 7.425 10.8 4.725 E 3 3 E E
u
⎢ ⎥ ⎨ ⎬ + ⎨ ⎬
⎢ − − ⎥
⎪ 3 ⎪ ⎢
f
40 10 ⎥ ⎩⎪ 2 ⎭⎪
⎪F3 ⎪
⎢ ⎥
⎣−0.325 1.35 −4.725 3.7 ⎦
⎪ E ⎪
E
u ⎢
4 1 13
⎥ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ F4
⎢⎣ 60 120⎥
⎩ ⎭
⎦
sendo: E o módulo de elasticidade longitudinal e L o comprimento do elemento finito.
7.2 – Formulação do Acoplamento das Fibras com o Domínio via
Combinação MEC-MEF
7.2.1 – Equações do Acoplamento
Para considerar o domínio bidimensional enrijecido com fibras, estas modeladas
com elementos finitos e o primeiro com elementos de contorno, propõe-se uma
formulação combinando as equações dos dois métodos, considerando-se aderência
(7.3)
(7.3)