Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

é descrita empregando-se a equação integral em deslocamentos descrita pela Eq. (5.27).
Já a face oposta da fissura é representada por uma equação integral escrita em termos de
forças de superfície a qual será mostrada a seguir neste capítulo. Apesar da existência de
pontos fontes com mesma localização o sistema de equações resultante não é singular.
Esse procedimento é mais geral para a análise de domínios multi-fraturados e com
propagação aleatória das fissuras.
5.8 – Equação Integral em Forças de Superfície
Para a obtenção das equações necessárias à análise via MEC dual torna-se
necessário inicialmente retomar a identidade Somigliana representada pela Eq. (5.50).
∫
∫
ui ij
j
j ij
ij
j
Γ
Γ
Ω
*
*
*
( f ) + P ( f , c)
⋅u
( c)
dΓ=
P ( c)
⋅u
( f , c)
dΓ
+ u ( f , c)
⋅b
( c)
dΩ
Deve-se perceber que a Eq. (5.50) é diferenciável, pois os termos
Capítulo 5 – Método dos Elementos de Contorno __________________________________
∫
P
*
ij
105
(5.50)
dependem unicamente da distância entre os pontos fonte e campo. Efetuando a
diferenciação da Eq. (5.50) e admitindo-se a ausência de forças de corpo presentes no
problema obtém-se a seguinte expressão:
∫
∫
ui , k ( f ) −
*
Pij
, k ( f , c)
⋅u
j ( c)
dΓ
= −
*
Pj
( c)
⋅u
ij,
k ( f , c)
dΓ
(5.51)
Γ
Γ
Em que as derivadas dos campos fundamentais são referenciadas ao ponto fonte.
O campo de tensões é obtido introduzindo-se na Eq. (5.51) a relação constitutiva
do material considerado, Eq.(I.5). Efetuando este procedimento é possível escrever a
expressão da identidade Somigliana em termos de tensões da seguinte forma:
ij
∫
f kij
k
kij
k
Γ
Γ
∫
σ ( ) + S ( f , c)
⋅u
( c)
dΓ
= D ( f , c)
⋅ P ( c)
dΓ
(5.52)
Nesta equação os termos Skij e Dkij
contêm as derivadas dos termos
respectivamente. Admitindo-se o emprego das soluções fundamentais de Kelvin, os
termos Skij e Dkij
são os já apresentados nas Eq.(5.47) e Eq. (5.48) respectivamente.
A Eq. (5.52) é válida para pontos localizados no domínio do problema.
Aplicando a proposta do MEC deve-se, portanto avaliar esta equação apenas nos pontos
localizados sobre o contorno. Para efetuar esse procedimento é necessário tomar um
P
*
ij
e
e
u
u
*
ij
*
ij