Modelos Não Lineares do Método dos Elementos de Contorno para ...

Figura 4.6 Sistema adaptativo para os parâmetros do plano de experiência. Redução progressiva
4.5.3 – Formulação Para a Determinação da Equação de Estado Limite
No caso da superfície de falha ser implícita (numérica) utiliza-se um método de
regressão para se determinar as constantes do polinômio aproximador da hipersuperfície
de estado limite. Será mostrado agora um método de regressão para um polinômio de
dimensão e ordem quaisquer. Conhecendo-se esse procedimento, a expressão para
representação da superfície de estado limite da estrutura, válida em torno do ponto de
projeto, é facilmente determinada.
A regressão é feita segundo o método dos mínimos quadrados, ou seja,
minimizando o quadrado das distâncias entre as respostas reais e as aproximadas pelo
polinômio. Representam-se o polinômio por Q(x) e as respostas ou pontos, que dão
origem à regressão, por Ri, que no caso equivalem às respostas mecânicas da estrutura.
Então, Q(x) pode ser escrito da seguinte forma:
Q( x) = a + a x + b x x
0
n n n
∑ ∑∑ (4.18)
i i ij i j
i= 1 i= 1 j=
1
sendo n o número de variáveis aleatórias que definem a dimensão do polinômio.
A regressão tem como objetivo minimizar a distância entre os pontos e a
superfície aproximada, que é a incógnita do problema. Então, o problema da regressão
passa a ser um problema de minimização escrito na seguinte forma:
( ) 2
i i
np
min d = min Q( x ) − R
Capítulo 4 – Tópicos de Confiabilidade Estrutural__________________________________
i=
1
onde np é o número de respostas conhecidas.
∑ (4.19)
81